ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Рассмотрение вынужденных колебаний в слабо нелинейных диссипативных системах при гармоническом силовом воздействии методом гармонического приближения из "Основы теории колебаний " Как указывалось ранее, не представляется возможным выбрать единый эффективный метод для анализа вынужденных колебаний в нелинейной диссипативной системе с произвольной нелинейностью и любой диссипацией при наличии внешнего силового воздействия произвольной формы. Поэтому в первую очередь необходимо сузить наше рассмотрение рамками определенных типов воздействий. [c.112] Обратимся к особо важному случаю гармонического воздействия и из всего многообразия нелинейных диссипативных систем с одной степенью свободы выберем слабо нелинейные системы, в которых вынужденные колебания при таком воздействии также близки к гармоническим. Требование малости диссипации не столь уж принципиально, но поскольку нас интересуют в основном системы с отчетливо выраженными колебательными свойствами, а не апериодические, то мы в нашем рассмотрении ограничимся случаями небольшого затухания (малой диссипации). [c.112] С учетом всех этих оговорок можно сформулировать задачу следующим образом требуется найти параметры (амплитуду и фазу) приближенно гармонического колебания, возбуждаемого в слабо нелинейной колебательной системе с малым затуханием, при заданной гармонической внешней силе. С подобной задачей мы встречаемся не только при рассмотрении механических систем, но и при анализе различных колебательных цепей в радиотехнических устройствах при наличии нелинейных диссипативных элементов (полупроводниковые приборы, радиолампы), а также при использовании ферромагнитных или сегнетоэлектрических материалов в катушках индуктивности и конденсаторах этих цепей. [c.113] Заметим также, что введение силы, действующей по заданному временному закону, например гармонической силы, весьма непринужденно осуществляемое в электрических системах, довольно затруднительно реализовать в системах механических. В самом деле, с помощью соответствующих устройств (например, с помощью индуктивной связи) в электрические системы легко ввести э. д. с. с заданной временной зависимостью при любом мгновенном состоянии самой системы. В механической же системе легко задать определенное смещение, а задание силы, меняющейся по заданному закону, требует использования достаточно сложных устройств, например тех или иных электромеханических приспособлений. [c.113] Система (3.5.5) должна позволить найти величины ц, а, Ь в зависимости от Р в соотношения между Mq и р для заданного вида функции F x, dx/dt), аппроксимирующей в общем случае функцию, описывающую нелинейные реактивные и диссипативные свойства системы. [c.115] Рассмотрим этим методом два примера. [c.115] Исследование особенностей поведения кривых р А), задаваемых уравнением (3.5.11), позволяет разделить их на два вида. [c.116] Неустойчивость этих решений не следует прямо из приведенных расчетов. Метод гармонического приближения не дает возможности определить устойчивость найденных решений. Для этого необходимы дополнительные исследования полученных значений амплитуды. [c.117] Как видно из формулы (3.5.11) при 6 = 0, мы приходим к соотношению, аналогичному (3.3.15) и связывающему частоту воздействия и амплитуду вынужденного колебания в консервативной нелинейной колебательной системе р = (хР Р/А. В соответствии с этим и семейство резонансных кривых рис. 3.25 при б- -0 переходит в семейство изолированных кривых, разделенных скелетной кривой аР А). [c.117] Очевидно, что в случае обратного закона зависимости с от Я или, говоря языком механики, обратной зависимости жесткости от отклонения при аналогичной аппроксимации необходимо считать у 0, и соответствующие резонансные кривые будут иметь наклон в обратную сторону, что схематически показано на рис. 3.26 (случай мягкой возвращающей силы). [c.117] Если изобразить передаваемую этим соотношением связь между А и Шо. то получится семейство резонансных кривых (рис. 3.28). Дифференцируя уравнение (3.5.16) по и находя производную дА д 1, нетрудно показать, что в пределах выбранного приближения она обращается в нуль при со(, = р независимо от величины амплитуды колебаний Л . [c.119] Для контуров с нелинейным затуханием резонансные кривые при малых величинах у и при небольших амплитудах внешней силы незначительно отличаются от обычных резонансных кривых для линейного контура, и лишь для больших амплитуд наблюдается уплощение их вершин. Это связано с ростом эффективного затухания системы с возрастанием амплитуды колебаний по закону бг = б(1 А- иур А ). [c.119] Вернуться к основной статье