ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вынужденные колебания в нелинейной консервативной системе при гармоническом силовом воздействии из "Основы теории колебаний " При воздействии гармонической силы на линейную систему в ней, как хорошо известно, возникает гармонический вынужденный процесс с частотой вынуждающей силы и с амплитудой, определяемой параметрами системы, частотой и величиной внешней силы. В частности, при совпадении частоты воздействующей силы с частотой свободных колебаний системы в ней при отсутствии потерь (т. е. в случае консервативной системы) возбуждается бесконечно нарастающий вынужденный колебательный процесс, соответствующий наступлению резонанса. Однако если по-прежнему рассматривать консервативную, но нелинейную систему, то вследствие возможной неизохронности при возникновении в ней колебаний условие резонанса с изменением амплитуды колебаний может измениться, и в этом случае мыслимо установление конечной амплитуды вынужденного колебания при любой частоте воздействия. [c.98] Как и исследование линейных систем, изучение вынужденных колебаний в идеализированных консервативных системах дает нам очень много ценных сведений о протекании самого явления в реальных диссипативных системах. Для нелинейных систем это, вероятно, еще более справедливо, так как для большого класса явлений в таких системах основным фактором, определяющим характер вынужденных процессов, служат именно нелинейные свойства элементов, а не наличие затухания, как было в линейных системах. [c.98] В данном параграфе нас будут интересовать исключительно вынужденные процессы, и поэтому мы не будем рассматривать вопросы, связанные с установлением вынужденных движений, в особенности учитывая, что в консервативных системах они про-текакзт принципиально иначе, чем в реальных диссипативных. Укажем лишь, что в реальных системах всегда можно выбрать такой интервал времени после начала воздействия, по истечении которого в системе будет существовать практически только чисто вынужденное движение, не зависящее от начального состояния системы, тогда как в консервативных системах это принципиально невозможно. [c.98] Тогда после подстановки ряда с достаточно большим числом членов в исходное уравнение принципиально возможно, произведя соответствующие тригонометрические преобразования, получить систему алгебраических уравнений для отыскания коэффициентов йп и Ьп- Таким путем в принципе можно находить значения а и и определять их зависимость от параметров системы и характера воздействующей силы, которая может быть представлена в виде ряда Фурье с компонентами частоты р, 2р, Зр,. .. [c.99] Однако такой путь весьма громоздок и сложен и в редких случаях с его помощью удается решить задачу достаточно полно, а многие существенные особенности поведения нелинейных консервативных систем, находящихся под внешним периодическим воздействием, не выявляются достаточно отчетливо. Поэтому мы ограничимся лишь некоторыми частными случаями и отдельными приемами, позволяющими выяснить наиболее характерные стороны рассматриваемого явления. [c.99] Из общих соображений вытекает, что вынужденное решение должно иметь тот же период, что и вынуждающая сила, и содержать компоненту а os pt. [c.99] Принимая, что система не слишком далека от линейной и эта компонента с частотой, совпадающей с частотой вынуждающей силы, является доминирующей в общем выражении для вынужденного процесса, мы в качестве основного (первого) приближения будем рассматривать решение x = a ospt. [c.99] При этом, разумеется, наиболее интересными будут выводы об амплитуде этого процесса а, так как вполне очевидно, что особенности формы действительного процесса здесь просто опускаются. [c.99] Изучаемой системы при различных амплитудах и называется скелетной кривой. Рассматривая характер полученных резонансных кривых, мы замечаем следующее при частоте воздействия р, меньшей частоты свободных колебаний (Оц, в системе всегда происходит однозначно определяемое колебательное движение с амплитудой, зависящей от величин Р и р. Когда в процессе своего изменения р становится больше сод, то, начиная со значения р в системе, кроме существовавшего ранее движения, оказываются возможными еще два колебательных процесса с различными амплитудами. При этом амплитуда исходного вынужденного процесса с ростом р продолжает расти (область А), амплитуды же двух вновь появившихся решений изменяются так, что одна из них растет с ростом р (область С), другая уменьшается (область В). Линия раздела этих областей показана на рис. 3.17 штрих-пунктиром и она проходит через точки амплитудных кривых с вертикальными касательными. Таким образом, если для заданной амплитуды Р воздействующей силы ее частота р изменяется, начиная с малых значений до любых сколь угодно больших значений и обратно, мы получим однозначное решение, соответствующее одной из ветвей резонансной кривой в области А. Заметим, что здесь нас интересовала лишь величина а, ее абсолютное значение, а знак амплитуды, связанный с возможным изменением фазы на л не учитывается. Отметим лишь, что колебания в областях Л и 5 для одной и той же амплитуды внешней силы Р отличаются друг от друга по фазе на л. [c.101] Если же рассматривать поведение амплитуды вынужденного движения, начиная с больших значений р, то мы будем двигаться по ветви резонансной кривой в области В в сторону уменьшения р и роста а до той точки, где касательная к резонансной кривой станет вертикальной. Дальнейшее уменьшение р может сопровождаться лишь скачком амплитуды вынужденного колебания а на ветвь кривой в области А и дальнейшим изменением а в соответствии с формой этой части резонансной кривой. Таким образом, мы не обнаружили естественного хода процесса, при котором система оказалась бы на ветви резонансной кривой в области С. Это согласуется с тем, что строгий анализ особенностей всех трех типов решений показывает неустойчивость движений, соответствующих области С, в отношении любых сколь угодно малых вариаций параметров. [c.101] С ростом р, начинающимся от малых значений, амплитуда а растет монотонно. При уменьшении р от больших значений в сторону (U0, сначала а растет монотонно, затем в точке р совершает скачок и далее уменьшается, а при увеличении р амплитуда монотонно растет. [c.102] В дальнейшем мы увидим, что более полное рассмотрение задачи указывает на наличие второго скачка а, который соответствует перебросу а с ростом р с ветви А на ветвь В, но в области значений р, превышающих величины, характерные для скачка с В на Л. [c.102] Рассмотрим теперь ту же задачу приближенным аналитическим способом, методом гармонического баланса. [c.102] Если разложить —f (х) в ряд Фурье, то очевидно, что только члены с OSIO/ и sin со/ будут в сочетании с х давать тождественно нуль, как того требует уравнение (3.3.5). Члены же с высшими гармоническими составляющими не будут скомпенсированы, и это является естественным следствием сделанного допущения о гармоничности искомого решения. [c.102] Для заданного вида функции [(х) можно, произведя соответствующее интегрирование, найти величину со в функции амплитуды. [c.103] Для других типов нелинейностей мы, естественно, получили бы другие выражения для частоты свободных колебаний нелинейной системы при конечных амплитудах колебаний. Эти соотношения, характеризующие зависимость частоты свободных колебаний от их амплитуды, дают нам приближенное математическое выражение свойства неизохронности данной системы. Разобранные примеры с нелинейной емкостью показывают, что с ростом амплитуды колебаний возрастает действующее значение ее жесткости , т. е. уменьшается действующее значение емкости. Подобная жесткая система в согласии с полученными выражениями характеризуется возрастанием частоты колебаний с ростом их амплитуды, т. е. с увеличением сообщенного системе запаса колебательной энергии. [c.104] Следует еще раз подчеркнуть, что найденные выражения, равно как и использованный метод расчета, являются приближенными, пригодными лишь для достаточно малых значений е, причем чем i r( меньше е, тем до больших значений амплитуд можно применить как расчеты, так и полученные соотношения. [c.105] Возвращаясь к анализируемой задаче, рассмотрим теперь случай действия внешней силы на систему, т. е. РфО. [c.105] В таком виде исследование резонансных свойств достаточно затруднительно. Поэтому рассмотрим зависимость от а. [c.106] Имея для данной системы определенную, уже подсчитанную зависимость со от а, можно построить кривую со (а) и затем, задаваясь различными значениями а, найти соответствующие им значения и по полученным точкам построить резонансные кривые для различных Р. Таким образом. [c.106] Вернуться к основной статье