ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод медленно меняющихся амплитуд и его применение к расчету колебаний в слабо нелинейных системах с малым затуханием из "Основы теории колебаний " Для линейной консервативной системы с одной степенью свободы уравнение, описывающее колебания в ней при соответственно выбранном масштабе времени, нам уже известно х + - -д = 0. В этом случае масштаб времени т определяется соотношением T= uo где (ufl —круговая частота свободных колебаний системы, — обычное время. [c.71] Систему уравнений (2.5.8) можно получить из системы (2.5.6), если правые ее части разложить в ряд Фурье как периодические функции с периодом 2я и отбросить все осциллирующие члены. В этом отбрасывании осциллирующих членов и заключается укорочение , приводящее от системы уравнений, точно соответствующей исходному уравнению, к приближенным укороченным уравнениям. [c.72] Полученная система укороченных уравнений позволяет отыскивать состояния равновесия для переменных пип, что соответствует стационарным движениям. [c.73] Решения системы (2.5.9) должны дать возможные стационарные амплитуды гармонических движений, приближенно отражающих реальный стационарный процесс. [c.73] Устойчивость стационарных движений можно определить известным методом возмущений, заключающимся в составлении уравнений для малых вариаций вокруг найденных стационарных значений и = а1, v = b , соответствующих равновесию вспомогательной системы, описываемой укороченными уравнениями. [c.73] Если оба корня имеют знак минус у вещественной части к, то соответствующее стационарное рещение (и = a , v = b ) устойчиво. Если хотя бы одно из значений к имеет знак плюс у вещественной части, то исследуемое решение неустойчиво. Наличие или отсутствие мнимой части в к определяет характер устойчивости или неустойчивости стационарного решения. [c.74] Мы не будем сейчас углубляться в детали вопроса об исследовании устойчивости стационарных движений, а вернемся к нему позднее при рассмотрении параметрических и активных систем, в которых возможны различные типы стационарных движений. Для диссипативных же систем ясно, что может существовать лишь одно стационарное состояние — состояние покоя, которое всегда устойчиво. [c.74] Рассмотрим теперь другой вариант метода медленно меняющихся амплитуд с переходом от исходных координат х и i к новым переменным — амплитуде А и фазе 6, которые такл е являются медленными переменными в масштабе времени т. [c.74] Из системы укороченных уравнений (2.5.20) можно определить стационарные значения амплитуды и фазы колебаний в конкретной системе, исследовать процессы установления (переходные процессы) этих величин, а также определить устойчивость найденных решений. [c.75] Применение такого варианта метода медленно меняющихся амплитуд иногда упрощает нахождение стационарных решений, особенно в задачах, где отсутствует опорное колебание (вызванное, например, внешней силой, модуляцией параметра, синхронизирующим сигналом), фазовый сдвиг (фаза) которого относительно искомого колебания естественно вошел бы в решение. К подобным системам относятся, в частности, пассивные линейные и нелинейные колебательные системы, автоколебательные системы и др. Некоторое облегчение решения задач этот вариант метода ММА дает также в тех случаях, когда нелинейные характеристики каких-либо параметров колебательной системы аппроксимируются высокими степенями разложения в ряд. [c.75] Проиллюстрируем теперь метод медленно меняющихся амплитуд примерами его применения к расчету колебаний в простейших системах. [c.75] Линейный контур с постоянным затуханием (линейный осциллятор с затуханием). Эта задача легко решается прямым интегрированием дифференциального уравнения (2.2.6), но для иллюстрации метода проделаем соответствующие расчеты для свободных колебаний методом медленно меняющихся амплитуд. [c.75] Здесь г = — квадрат амплитуды искомого колебания. [c.77] Электрический контур с малым нелинейным затуханием. Рассмотрим колебания в контуре с постоянными L и С, но с сопротивлением R (i), зависящим от тока по закону R = Ra( - -У(р). Это соотношение качественно передает зависимость омического сопротивления проводников от протекающего через них тока за счет их нагрева. [c.78] Полученное соотношение для г выражает закон уменьшения квадрата амплитуды колебаний в исследуемом нелинейном контуре, начиная от исходного значения г = го. Этот закон переходит в обычный экспоненциальный при у = 0, т. е. при переходе к линейному случаю (линейному осциллятору с постоянным затуханием). На рис. 2.25 в условном масштабе показано спадание квадрата амплитуды г для некоторого значения у. На том же рисунке приведен закон убывания г, соответствующий у==0. [c.79] а фаза колебания не играет никакой роли. Это обстоятельство вполне понятно, так как характер движения задается исходным запасом колебательной энергии, сообщенной контуру в начале процесса, а фаза колебания никак не определяет ход колебания — соответствующим выбором произвольного для автономной системы начала отсчета времени фазу можно сделать любой. [c.79] До сих пор мы рассматривали колебания в изолированных от внешних воздействий системах. В них могут происходить только собственные колебания. Однако необходимо отметить, что даже в изолированных колебательных системах затухающие или нарастающие колебания возникают только после некоторого внешнего воздействия. Внешнее воздействие задает начальное отклонение и начальную скорость, которые в свою очередь определяют начальную амплитуду и начальную фазу колебаний. Частота колебаний со и коэффициент затухания б определяются только свойствами самой системы. [c.80] Если же рассматривать колебания в системе под действием внешней периодической силы —так казъш шыь вынужденные колебания, то их свойства зависят не только от параметров систем (ш, б), но и от амплитуды и частоты внешней силы. [c.80] При изучении внешнего воздействия на колебательные системы необходимо различать силовое и параметрическое воздействия. Силовым воздействием называется такое воздействие, при котором не изменяются параметры (со, б) колебательной системы. Параметрическое воздействие, напротив, изменяет только эти параметры. [c.80] Вернуться к основной статье