Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...

Статьи Чертежи Таблицы О сайте Реклама
Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической.

ПОИСК



Исследование свободных колебаний в нелинейных диссипативных системах с одной степенью свободы методом поэтапного рассмотрения

из "Основы теории колебаний "

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]
К концу этого этапа при i = 2n/% получаем хгя/и = 4а ,/(о . [c.61]
Для рассмотрения второго периода колебаний надо продолжить рассмотрение по этапам. [c.61]
Полученное решение представлено графически в координатах 1 к на рис. 2.14. [c.61]
Решение этого уравнения для малого к, взятое для достаточно большого интервала времени, близко к решению написанного выше уравнения первого порядка. [c.63]
Таким дополнительным условием является допущение бесконечно быстрого изменения той переменной, изменение которой не связано с изменением запаса энергии системы. [c.64]
В нашей з 1даче в рамках второго этапа возможно произвольное мгновенное изменение i = ( до значений, определяемых выражением (2.4.16), так как при постоянстве Ф изменение i не связано с изменением магнитной энергии системы. Величина же q определяет электрическую энергию заряженного конденсатора и ее скачкообразное изменение означало бы расход или потребление бесконечной мощности, что физически бессмысленно. [c.64]
Вследствие потерь дальнейшее движение уже не будет выводить значения i за пределы /ц, и вплоть до полного затухания движение в системе будет описываться уравнением (2.4.14) и его решением (2.4.15) с определенными обычным образом коэффициентами. [c.65]
Если построить графики изменения д I в функции времени, ТО для выбранных нами начальных условий они будут иметь вид, показанный на рис. 2.19. и 2.20. [c.67]
В действительности нет скачкообразных изменений хода кривых намагничения, а магнитные свойства сердечников могут изменяться лишь непрерывно, хотя и достаточно быстро в определенные фазы процесса. [c.68]
Рассматривая движение по этапам, получаем следующие уравнения. [c.68]
При этом происходит постепенный переход от одной петли гистерезиса к другой, соответсвующей меньшим значениям тока и магнитного потока. Строго говоря, здесь происходит некоторое отклонение хода зависимости Ф ( ) от выбранного нами идеализированного закона, но при не слишком широкой петле гистерезиса оно достаточно мало, и учет поправки при данном приближенном рассмотрении не представляется оправданным. [c.69]
Повторяя последовательно подобное исследование по этапам, можно получить выражение для изменения if и во времени. На фазовой плоскости соответствующий фазовый портрет системы имеет вид, изображенный на рис. 2.22. Фазовые траектории будут представлять отрезки спиралей, соединенные отрезками прямой 4 = — д1щЯС в точках 1 = 4. соответствующих началам и концам этапов Ф = onst. Таким образом, мы видим, что при учете гистерезисных явлений должно происходить более быстрое уменьшение амплитуды свободных колебаний исследуемого контура. Это обусловлено тем, что существование гистерезисной петли приводит к потерям в материале сердечника за счет работы на его перемагничивание, вызванным взаимодействием элементарных областей намагничения с остальной массой вещества сердечника, и в конечном счете —к переходу магнитной энергии в тепловую за счет работы, расходуемой на переориентацию указанных областей, или доменов. [c.69]
По этой причине наличие ферромагнитного сердечника с гистерезисными свойствами в индуктивности колебательного контура даже при отсутствии в нем активного сопротивления приводит к появлению потерь, и такая система оказывается принципиально диссипативной. [c.70]
На рис. 2.23 показан фазовый портрет подобного идеального контура, не обладающего активным сопротивлением, но содержащего индуктивность с сердечником, имеющим гистерезисные свойства. Здесь фазовая траектория составляется из полуокружностей, радиус которых уменьшается в зависимости от ширины петель гистерезиса. В этом процессе этап движения, соответствующий Ф = onst, происходит мгновенно, что связано с отсутствием в изучаемом контуре активного сопротивления, которое ограничивало бы скорость изменения q. [c.70]


Вернуться к основной статье

© 2025 Mash-xxl.info Реклама на сайте