ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Построение фазовых траекторий свободных колебаний методом Льенара из "Основы теории колебаний " у) можно получить направление касательной к фазовой траектории, проводя перпендикуляр к прямой АР через точку Р (х, у) (рис. 2.11). Наклон этой касательной равен Уу/Ух, и так как РВ = (у)X, АВ = у, то выражение (2.3.7) показывает, что прямая АР перпендикулярна к касательной к фазовой траектории в точке Р х, у). [c.56] Производя подобное построение для последовательности интересующих НДС точек (начиная с точки, характеризующей исходное состояние системы) и образуя на плоскости х, у достаточно густую сетку (поле) направлений касательных к фазовым траекториям, нетрудно построить искомую фазовую траекторию с желаемой точностью. [c.56] При Приближенном построении фазовой траектории по этому методу можно поступать следующим образом. Определим с помощью описанного построения направление фазовой траектории в исходной точке Р х , Уо), соответствующей заданным начальным условиям (д , у ). Заменяя на небольшом интервале фазовую траекторию отрезком дуги окружности с центром в точке Л и повторяя ту же операцию для конца этого отрезка дуги с новым мгновенным центром, определим новое направление касательной к траектории. Продолжив подобные операции необходимое число раз, получим ломаную кривую линию, с необходимой точностью воспроизводящую ход действительной фазовой траектории. [c.57] Для диссипативных систем, у которых знак ф у) обязательно совпадает со знаком у, наклоны фазовых траекторий во всех точках фазовой плоскости таковы, что сами траектории проходят внутрь окружности, которую можно провести через данную точку с центром в начале координат. Это справедливо для любой формы функции ф(г/), определяющей характер зависимости потерь от состояния системы, при условии, что система остается диссипативной. Такая окружность являлась бы фазовой траекторией нашей системы для ф( /) = 0, т. е. в отсутствие затухания. Эти соображения подтверждают заключение о том, что в случае диссипативной системы фазовые траектории соответствуют более или менее быстрому уменьшению амплитуды колебаний и имеют вид спиралей или сходных с ними кривых, стягивающихся в начало координат (состояние покоя). [c.57] Следует подчеркнуть, что в изложенном методе Льенара, учитывающем нелинейную зависимость силы трения от скорости (или обратной э. д.с. на сопротивлении от силы тока) нужно знать лишь ее графическое изображение, которое может быть получено и экспериментально. При этом построении, очевидно, нет никаких существенных ограничений на вид функции потерь ф (у) и ее мгновенное значение, так что данный метод с одинаковым успехом применим как к случаю малых, так и к случаю больших потерь, а также к системам с большой и малой нелинейностью в диссипативном элементе. Последнее обстоятельство придает методу Льенара большую общность и позволяет с его помощью изучать колебательные свойства систем при изменении затухания от малых до весьма больших значений и с учетом различных законов трения (как линейного, так и существенно нелинейных законов). Заметим, что метод Льенара широко используется для построений фазовых портретов автоколебательных систем с разными законами нелинейности, а именно для нахождения устойчивых предельных циклов — замкнутых фазовых траекторий. [c.57] Проводя подобное построение для интересующей нас последовательности точек, мы можем построить с требуемой точностью и саму фазовую траекторию, так же как и в предыдущем случае. Заметим, что это построение переходит в предыдущее для случая линейной емкости, когда С = С(, и ф(х) = х. [c.58] В рассматриваемом случае нелинейной диссипативной системы при нелинейной емкости фазовые траектории не обязательно во всех точках направлены внутрь окружности, проходящей через данную точку, с центром в начале координат. Но это не лишает справедливости утверждения, что фазовые траектории для исследуемой системы при наличии потерь всегда направлены внутрь тех замкнутых фазовых траекторий, которые имели бы место для данной системы с данным видом нелинейности при исключении из нее потерь (при ф(у)=0, т. е. для консервативного случая). [c.58] Модифицированное построение Льенара для системы без потерь. [c.59] Проводя подобные построения указанным выше способом для последовательности точек, можно получить ломаную линию, которая сколь угодно близко будет воспроизводить искомую фазовую траекторию движения в нашей нелинейной консервативной системе. [c.59] Вернуться к основной статье