ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Качественное рассмотрение свободных колебаний в диссипативных системах при различных законах трения из "Основы теории колебаний " Рассмотрим с помощью представления движения на фазовой плоскости несколько характерных примеров диссипативных нелинейных колебательных систем с одной степенью свободы с различными законами трения. [c.47] Это линейное уравнение справедливо для всех значений х, х, при которых а остается постоянным, т. е. в областях постоянства знака х = у. [c.48] Для всей совокупности отрицательных и положительных значений у уравнение (2.2.1) нелинейно, так как при проходе х == у через значение / = 0, а изменяется скачком от до — о и обратно. Поэтому для изображения соответствующих движений на фазовой плоскости необходимо отдельно построить фазовые траектории для I/ О и для г/ 0, а затем сшить их в точках г/ = 0 для получения непрерывных фазовых траекторий на всей фазовой плоскости. В самом деле, система изучаемого типа при наличии инерционных и упругих сил, т. е. с резервуарами кинетической и потенциальной энергий, может совершать лишь непрерывные движения, допускает лишь непрерывные изменения координаты и скорости, а, следовательно, ее фазовый портрет обладает только непрерывными фазовыми траекториями. Разрывы непрерывности в значениях координаты или скорости и наличие конечных скачкообразных изменений этих величин означали бы скачкообразное изменение потенциальной или кинетической энергий, что соответствовало бы физически бессмысленному мгновенному выделению или поглощению бесконечной мощности. [c.48] Простейшая механическая модель подобной системы с сухим трением может иметь вид, изображенный на рис. 2.2, где масса т скользит по сухой поверхности Т, совершая колебания за счет инерции самой массы и упругости пружины. Для электрической системы создать простой аналог сухого трения не представляется возможным, и мы в данном случае, характерном для применения метода линейного поэтапного рассмотрения, ограничимся указанным механическим примером. [c.48] Простыми подстановками х = х —а/ а1 для г/ 0 и х = для г/ 0 находим уравнение, общее для обоих знаков у. [c.48] Фазовые траектории, соответствующие этому уравнению, представляют собой эллипсы с центрами соответственно при = 0. [c.48] Из этого фазового портрета сразу виден основной характер колебательных движений в данной системе, а именно затухание колебаний и прекращение движения после конечного числа колебаний (при заданных начальных условиях — отклонении и начальной скорости). Например, одно такое движение от начальных условий х = Хд, у — у (точка Р на фазовом портрете системы) изображено более жирной фазовой траекторией. Фазовый портрет (см. рис. 2.3) показывает нам также одно характерное свойство колебательных систем с сухим трением, а именно наличие зоны застоя в самом деле, прекращение движения ( / = 0) может происходить при любых значениях х в области —+ откуда следует, что при каких-то начальных условиях система, будучи представлена самой себе, не обязательно придет к состоянию покоя в точке х = 0, = 0. Зона застоя тем больше, чем больше трение в системе. [c.49] Этот случай соответствует электрическому колебательному контуру, содержащему постоянные самоиндукцию и емкость, а также сопротивление, величина которого пропорциональна протекающему по нему току. [c.53] Ограничивая качественное рассмотрение свободных колебаний в линейных и нелинейных диссипативных системах разобранными примерами, отметим, что в более сложных случаях, особенно для нелинейных задач, целесообразно пользоваться методом изоклин, построение которых позволяет составить представление об основных чертах фазового портрета исследуемой системы и, тем самым, о характере совершаемых ею движений. При этом, как уже указывалось, в диссипативных системах мы должны получить независимо от начальных условий такие движения, которые приводят систему к устойчивой особой точке — состоянию покоя, т. е. к диссипации всей энергии, связанной с изучаемым движением. [c.55] Вернуться к основной статье