ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свободные колебания в контуре с нелинейной индуктивностью из "Основы теории колебаний " Рассмотрим теперь другой пример электрической нелинейной консервативной системы, а именно--контур с индуктивностью, зависящей от протекающего по нему тока. Этот случай / е имеет наглядного и простого нерелятивистского механического аналога, так как зависимость самоиндукции от тока эквивалентна для механики случаю зависимсстн массы от скорости. [c.35] Н пропорциональна току, текущему в катушке, то по оси абсцисс можно прямо в соответствующем масштабе откладывать ток. [c.36] Оно описывает семейство кривых, окружающих особую точку типа центр, причем сами кривые близки к эллипсам при малых к (малых значениях х = и у 4 = 1) (рис. 1.15). [c.37] ОНО представляет собой также уравнение семейства кривых, близких к эллипсам (особенно в области малых значений h, т. е. в области малых q и q). [c.38] С учетом этой поправки получаем уравнение первого приближения Xi -f iu JTj = OS Зш/. [c.39] Таким образом, и здесь мы получаем качественно те же особенности движения, что и в случаях, разобранных выше. Различие проявляется лишь в соотношениях между амплитудами кратных гармонических компонент, их зависимости от параметров системы и в другой частотной поправке, причем здесь частота найденного решения, так же как и для контура с сегнетоэлектриком, увеличивается с ростом амплитуды, о связано с тем, что значение эффективного коэффициента самоиндукции в данном примере, так же как и э( зфективное значение емкости конденсатора с сегнетоэлектриком, для больших амплитуд меньше, чем для малых амплитуд. [c.39] Мы видим, что это уравнение семейства изоклин качественно совпадает (с точностью до значения коэффициента у) с уравнением изоклин (1.4.14) для электрического колебательного контура с нелинейным конденсатором с сегнетоэлектриком. Поэтому фазовый портрет свободных колебаний магнитного потока в контуре с нелинейной индуктивностью аналогичен фазовому портрету свободных колебаний заряда в контуре с нелинейным конденсатором, показанному на рис. 1.12, а при равенстве коэффициентов нелинейности оба портрета совпадают друг с другом. [c.40] Аппроксимация зависимости I от Ф производится с помощью полинома с большей точностью и в большем интервале значений I и Ф при той же высшей степени полинома, чем в случае зависимости Ф от I. [c.40] Такой прием получения более удобных соотношений для описания той же системы посредством соответствующего выбора основной переменной мы используем и в дальнейшем при анализе вынужденных колебаний, и его следует иметь в виду при составлении уравнений, описывающих исследуемые системы. [c.40] Как мы уже отмечали (см. 1.1), в реальных системах всегда происходит рассеяние энергии, ее потери, ее уход из системы и, как следствие этого, уменьшение общего запаса колебательной энергии. Процесс рассеяния — диссипации энергии и уменьшения ее общего запаса присущ всем реальным системам, не содержащим устройств, пополняющих эту убыль энергии. Поэтому мы вправе ожидать, что учет процесса уменьшения исходного запаса колебательной энергии позволит нам получить решения, полнее описывающие реальные движения, чем при рассмотрении консервативных систем. Можно указать на множество характеристик колебательных процессов, которые обусловлены наличием в системе потерь энергии, происходящих по определенному закону и являющихся существенными как для линейных, так и для нелинейных систем. К числу проблем, требующих для своего решения учета диссипации, относятся, например, оценка резонансной амплитуды в линейной системе или в системе с малой нелинейностью, обший вид установившегося движения при наличии вынуждающей силы, закон изменения во времени амплитуды свободных колебаний, устойчивость различных состояний и пр. [c.41] свободные колебания в системе без затухания должны существовать неограниченно долго и их амплитуда должна целиком определяться начальными условиями, тогда как в диссипативной системе всегда можно указать такой конечный интервал времени, по истечении которого амплитуда движения при любых реальных начальных условиях будет меньше любой наперед заданной величины. [c.42] С этим связано то обстоятельство, что сами по себе диссипативные колебательные системы, не содержащие источников энергии, имеют только одно стационарное состояние покой. В самом деле, любые начальные условия, любой исходный запас энергии служит исходной причиной, вызывающей начало затухания свободных колебаний, которые через достаточно большой промежуток времени в реальных системах прекратятся или (в случае идеализированных законов диссипации, например, линейное трение) их амплитуды станут меньше любых наперед заданных малых величин. [c.42] В неконсервативной системе Ф(х, у) = Х (1), где dW/dtФ0. Здесь функция ( ) характеризует мгновенное значение запаса колебательной энергии в системе. В подобном виде мы можем записать общее условие неконсервативности системы следует добавить, что если хотя бы для сколь угодно малого промежутка времени в рассматриваемом интервале времени dW/dt Ф О, то, значит, для данного интервала времени система не консервативна, причем может оказаться, что на отдельных интервалах времени dW dt = , и в этих временных пределах систему можно трактовать как консервативную, для которой dW/dt = 0. [c.42] В диссипативной системе всегда dW dt iO, что физически соответствует наличию потерь, приводящих к непрерывному уменьшению запаса энергии, связанной с изучаемым движением. [c.42] Заметим, что выражение для силы трения y)F x, р) должно обращаться в нуль при у = 0, т. е. в отсутствие движения. Это следует из физических соображений, а именно, из того, что сила трения и потери могут иметь место лищь при наличии движения в системе (у О). Отсюда следует, что в функцию F(x, у) переменная у должна входить в степени, большей первой. [c.43] Учитывая обязательное для диссипативных систем условие F х, р) 0, мы приходим к выводу, что выражение (l/p)f (х, у) должно быть знакопеременным и принимать знак, совпадающий со знаком у, т. е. со знаком скорости движения в системе или тока в электрическом контуре. [c.43] Для многих диссипативных систем сила трения зависит только от скорости (или силы тока) и не зависит от координаты (заряда), однако характер этой зависимости может быть различным в зависимости от свойств системы и условий, в которых совершается изучаемое движение. [c.43] Сила трения, не зависящая от величины скорости и связанная лишь с ее знаком, носит название сухого трения. Этот идеализированный тип трения позволяет понять существенные особенности процессов, происходящих в ряде реальных механических систем, но ему нельзя найти аналога среди процессов, реализующихся в простых электрических колебательных цепях. Идеализированная характеристика сухого трения имеет вид, изображенный на рис. 2.1, причем (l/p)F(x, у)—а, где а -0 при у 0, асОпри у 0. [c.43] С необходимостью раздельного рассмотрения этапов движения мы столкнемся также и в тех случаях, когда сила трения (сопротивления) выражается степенной функцией скорости с чётным показателем степени, например в случае так называемого квадратичного трения у)Р(х, г/) = бг/ где б 0 при г/ 0, бсО при уаО. Заметим, что величина силы трения при у = 0 скачка не испытывает. [c.44] Линейная зависимость силы трения от скорости наиболее распространена в механических системах и описывает вязкое трение в механике при небольших скоростях. [c.44] Вернуться к основной статье