ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свободные колебания в электрическом контуре без затухания с нелинейной емкостью из "Основы теории колебаний " В качестве примера нелинейной консервативной колебательной системы с одной степенью свободы рассмотрим электрический колебательный контур без затухания с конденсатором, в котором нет линейной зависимости напряжения от заряда. Подобными нелинейными свойствами обладают конденсаторы, в которых в качестве диэлектрика используются материалы, имеющие сег-нетоэлектрические свойства, и емкости, возникающие в р п-переходах (например, в полупроводниковых диодах) при обратном напряжении смещения. [c.29] кулоновая характеристика для емкости запертого р — -перехода. [c.31] Таким образом, на фазовой плоскости мы получим единственную особую точку х — 0, г/ = 0 типа центр, вокруг которой располагаются замкнутые фазовые траектории, отвечающие колебательным процессам с различными амплитудами. Уравнение фазовых траекторий имеет еид = = h-V(x). [c.32] Теперь для построения фазового портрета данной колебательно г системы необходимо аппроксимировать нелинейную вольт-кулоновую характеристику (см. рис. 1.6) определенной аналитической зависимостью. Для множества самых разнообразных сегиетоэлектрических материалов вольт-кулоновые характеристики конденсаторов имеют вид кубической параболы с разными коэффициентами нелинейности, т. е. [c.32] Как мы видим, для нелинейной системы изоклинами на фазовой плоскости являются кубические параболы с различными коэффициентами й . Исключение составляют только изоклина бесконечности к1=-оо), совпадающая с осью координат х ( / = 01, и нулевая изоклина (к1 = 0), совпадающая с осью координат у (л = 0). На рис. 1.12 показано построение фазовых траекторий методом изоклин для электрического колебательного контура с нелинейным диэлектриком. [c.33] Замкнутость фазовых траекторий подтверждает, что мы имеем дело с консервативной системой. [c.33] Из фазового портрета видно, что при малых амплитудах колебаний, как и в случае идеального маятника, фазовые траектории близки к эллипсам, т. е. малые движения в нелинейной системе близки к гармоническим колебаниям в линейной системе. [c.33] Полученный фазовый портрет системы, естественно, существенно зависит от вида исходной характеристики нелинейности системы, и позволяет нам качественно судить о процессах, которые могут протекать в подобной системе. Если характеристика нелинейности имеет вид, показанный на рис. 1.6, мы из фазового портрета можем сделать следующие заключения. Во-первых, в системе возможны симметричные колебания вокруг единственного положения равновесия х = = 0, у = д = 1 = 0. Во-вторых, форма этих колебаний отлична от синусоидальной и их различие тем больше, чем больше амплитуда колебаний. В третьих, в силу специфики указанных нелинейных свойств конденсатора с сегнетоэлектриком с ростом начального толчка (или начального запаса энергии) амплитуда колебаний / = /, т. е. амплитуда тока в контуре, растет быстрее, чем амплитуда заряда. [c.33] Для заданных свойств сегнетоэлектрика и выбранных масштабов мы всегда можем найти численные значения у и получить приближенное решение, годное в той области значений х ( — гСх 5 + й), внутри которой, во-первых, можно ограничиться выбранной нами аппроксимацией и, во-вторых, достаточно приближение с точностью до V в первой степени. В этом случае мы встречаемся с неизохронностью колебаний и обнаруживаем отход от строгой синусоидальности, выражающийся в появлении компоненты с тройной частотой. Строя график зависимости частоты со от амплитуды, мы получим график типа показанного на рис. 1.5. Здесь следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Из (1.4.18) следует, что со обращается в бесконечность при й = = 4/Зу, а для больших значений а выражение для о) становится мнимым. Этот результат является следствием недостаточности использованного нами первого приближения при подобных амплитудах. [c.34] Если аппроксимация типа (1.4.12) точно передает зависимость напряжения на емкости от заряда, решение (1.4.17) в первом приближении верно лишь постольку, поскольку можно пренебречь последующими членами. То же относится и к выражению для частоты (1.4.18). Поэтому при больших амплитудах колебаний приближенное решение становится непригодным независимо от точности аппроксимации. Таким образом, здесь сказывается сама ограниченность метода последовательных приближений, не дающего точных выражений для реальных движений в системе в случае больших амплитуд. В дальнейшем мы познакомимся с другим приемом определения частоты колебаний в подобных системах для случая приближенного гармонического закона колебаний. [c.34] Вернуться к основной статье