ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вычисление нормальных напряжений при изгибе. Закон Гука и потенциальная энергия при изгибе из "Сопротивление материалов Издание 13 " Закон Гука и потенциальная энергия при изгибе. [c.261] Возьмём балку, подвергающуюся чистому изгибу парами Ж (фиг. 182). Пользуясь методом сечения, разрежем балку сечением 1—/ на 2 части и рассмотрим условия равновесия одной из отсечённых частей, наприйер левой, показанной на фиг. 182 внизу. Для простоты чертежа балка взята прямоугольного сечения. Так как практически искривления балки ничтожны по сравнению с её размерами, то отсечённая часть изображена недеформированной. [c.261] Линия пересечения плоскости симметрии балки с плоскостью сечения принята за ось г (положительное направление взято вниз) нейтральная ось сечения принята за ось у, причём положение её по высоте балки пока неизвестно. Ось X взята вдоль нейтрального слоя перпендикулярно к осям у и г. [c.261] В каждой точке поперечного сечения действуют, нормальные напряжения а. Выделив вокруг любой точки с координатами у и г элементарную площадку Р, обозначим действующую на неё силу Л/=а с1Р. [c.261] Отсечённая часть балки находится в равновесии под действием внешних сил, образующих пару М, и нормальных усилий бМ, заменяющих отброшенную часть балки. Для равновесия эта система сил должна удовлетворять шести уравнениям статики. Напишем сначала уравнения проекций на 3 координатные оси х, у, г. [c.261] Составим теперь уравнения моментов относительно осей х, у и г. Заметим при этом, что пара М лежит в плоскости хО и потому моментов относительно осей Ох и Ог не даёт. [c.261] Обратимся к рассмотрению деформаций балки, для чего двумя бесконечно близкими сечениями I—1 и 2—2 выделим из нее элемент длиной dx. Вид этого элемента до и после деформации показан на фиг. 183. [c.262] Для ясности чертежа деформация элемента показана с сильным преувеличением. Оба поперечных сечения, оставаясь плос-кими, повернутся вокруг нейтральных осей (на фасаде точки Oj и О ) и образуют угол da. Нейтральный слой показан пунктиром. Линия 0,0з, принадлежащая нейтральному слою, после деформации сохранит свою первоначальную длину dx. Все волокна, лежащие выше нейтрального слоя, укорачиваются, а ниже — удлиняются. [c.262] Найдём удлинение какого-либо волокна АВ, расположенного в расстоянии z от нейтрального слоя и растянутого напряжениями о. Первоначальная длина этого волокна равна dx = OjOj = р а. После деформации его длина по дуге АВ стала АВ = da.. [c.263] удлинения волокон пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя. [c.263] Уравнение (13.4) показывает, что величина нормальных напряжений при изгибе меняется прямо пропорционально расстоянию 2 рассматриваемой точки сечения от нейтрального слоя. Значит, напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону. [c.263] Уравнение (13.4) даёт только характер распределения нормальных напряжений по сечению, но им нельзя воспользоваться для вычисления величины их, так как ни р, ни г неизвестны, поскольку неизвестно расположение нейтрального слоя по высоте сечения. [c.263] Для определения а в зависимости от изгибающего момента обратимся к совместному решению полученного из рассмотрения деформаций уравнения (13.4) и уравнений статики (13.1), (13.2) и (13.3). [c.263] Этот интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно нейтральной оси. Так как он равен нулю, то, следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Так как центр тяжести лежит и на оси симметрии Ог, то точка пересечения этих двух осей О является центром тяжести сечения, а ось Ох — осью стержня. [c.264] Таким образом, положения нейтральной оси и нейтрального слоя вполне определены. Нейтральный слой заключает в себе центры тяжести всех сечений стержня. [c.264] Полученный интеграл — сумма произведений из элементарных площадок на расстояния их до координатных осей — называется центробежным моментом инерции относительно осей у и г. Центробежный момент инерции может быть положителен, может быть и величиной отрицательной, а следовательно, может и обратиться в нуль, так как координаты элементарных площадок могут иметь разные знаки. [c.264] Таким образом, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента а расстоянию точки от нейтральной оси и обратно пропорциональны моменту инерции сечения относительно нейтральной оси. [c.265] Нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна к плоскости действия сил. [c.265] И размеров сечения. Практические приёмы его вычисления для различных сечений будут показаны далее. [c.266] Отсюда видно, что чем больше при данном изгибающем моменте момент инерции сечения J, тем ббльшим окажется радиус кривизны нейтрального слоя, а стало быть, и оси балки, т. е. тем меньше балка искривится. [c.266] Вернуться к основной статье