ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Колебания атомов в одномерной моноатомной цепочке из "Введение в физику твердого тела " В рассмотренной в первых главах модели кристалла полагалось, что атомы неподвижны. В этом приближении удалось объяснить ряд характеристик и свойств кристаллов и в отдельных случаях оценить их величины, например энергию связи, электропроводность (при низких температурах), электронную теплоемкость, существование наряду с атомно-кристаллической структурой электронной структуры и т. д. Тем не менее хорошо известны многие характеристики кристаллов, объяснение которых в рамках такой статической модели оказывается несостоятельным. К ним относятся, например, атомная теплоемкость кристалла (т. е. теплоемкость, связанная с движением ядер, а не электронов), тепловое расширение, электросопротивление при высоких температурах и т. д. [c.208] Эти соображения привели к необходимости рассмотреть колебания атомов в кристаллической решетке и оценить их роль в формировании физических свойств кристаллов. [c.208] первым приближением при рассмотрении колебаний атомов в кристалле является гармоническое Ьриближение. В этом приближении полагается, что средние равновесные расстояния между соседними атомами отвечают минимуму кривой U R), причем они соответствуют статической модели кристалла. Атомы колеблются относительно средних положений своих центров тяжести, причем амплитуды колебаний достаточно малы, что позволяет ограничиться учетом квадратичных смещений атомов. Сразу же отметим, что хотя гармоническая модель согласуется со многими экспериментальными данными, некоторые свойства кристаллов, например тепловое расширение, могут быть объяснены лишь при учете эффекта кубичного члена. Такое приближение называют ангармоническим. Оно будет рассмотрено несколько подробнее в конце данной главы. [c.209] Здесь со — частота колебаний волны, k — волновой вектор, равный 2я/Л, Л — длина волны. Очевидно, что + р)ка — разность фаз в точках волны, отстоящих одна от другой на р атомов. [c.210] Таким образом, колебательные движения частиц одномерной цепочки атомов могут быть описаны значениями m и й, находящи-тиися внутри области значений — л/асА ся/а. Эта область, как следует из гл. 1, называется первой зоной Бриллюэна. [c.212] зоны Бриллюэна имеют определенное значение и в динамике решетки внутри этой области сосредоточены все физически реальные независимые значения частоты ш и волнового вектора k. Стоит отметить, что возможным значениям k соответствуют длины волн от 2L до 2а. Наиболее интересно здесь существование нижнего предела значений длин волн, поскольку таковой отсутствует для непрерывной среды (струны). Причина существования этого предела, в частности, состоит в том, что при уменьщении длины волны до 2а соседние атомы начинают колебаться в противофазе и меньшая длина волны теряет смысл. [c.212] Сравним теперь зависимости oj(fe) для непрерывной струны и дискретной цепочки атомов. В первом случае (см. гл. 8) частота 0 прямо пропорциональна волновому вектору с коэффициентом пропорциональности — фазовой скоростью распространения волны Vo. Поэтому неограниченный рост k влечет за собой неограниченный рост . [c.212] Б то же время зависимость о(й) для дискретной цепочки атомов оказалась нелинейной и периодической, причем границе зоны Бриллюэна соответствуют предельные значения частоты. Если учесть, что частота волн пропорциональна их энергии, то из существования области разрешенных частот следует существование областей разрешенных энергий волн. [c.212] Далее рассмотрим вопрос о скоростях распространения волны фазовой, определяющей скорость смещения фазы, и групповой, определяющей перенос вещества (энергии). [c.212] Сравним теперь полученные для одномерной цепочки значения скорости распространения волн с данными теории упругости для непрерывного твердого стержня. [c.213] Это значит, что фазовая скорость распространения упругих волн в одномерной цепочке для длинных волн (fe—0) оказывается одинаковой с фазовой скоростью распространения упругих волн в твердом стержне. Итак, в длинноволновом пределе решение уравнения движения для цепочки переходит в решение для стержня. [c.213] При низких частотах О (со)—со , а вблизи со—сотах (со) имеет особенность корневого типа. [c.214] рассмотрение колебаний атомов в одномерной цепочке, состоящей из атомов одного сорта, показывает, что при низких частотах колебаний и длинных волнах (малых волновых векторах k) характеристики волнового движения атомов оказываются близкими к соответствующим характеристикам для изотропного континуума и в пределе с ними совпадают. Однако с ростом k обнаруживается заметное различие этих характеристик выявляется дисперсия частоты, частота колебаний начинает периодически зависеть от k, причем максимальные значения частоты обнаруживаются на границе зоны Бриллюэна, при этих же k обращается в нуль групповая скорость. Плотность состояний вблизи границы зоны Бриллюэна имеет особенность корневого типа. [c.214] Вернуться к основной статье