ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Закон дисперсии и волновые функции электронов (приближение почти свободных электронов) из "Введение в физику твердого тела " Здесь стоит указать на то, что возможность представления волновой функции при k g/2 в виде двучлена заранее неочевидна и требует доказательства. Однако для нас сейчас существен характер изменения ei,2 в зависимости от к, и мы будем считать такое представление возможным. [c.65] Величины 6, которые соответствуют условию (4.44), могут быть найдены после определения величины Ug, т. е. фурье-транс-форманты потенциала, действующего на электроны. Эту величину мы определим позднее. [c.66] Для проведения дальнейшего анализа необходимо знать хотя бы знаки Ug. Выше уже указывалось, что проводимое в этом разделе рассмотрение справедливо, если на электрон в кристалле действует достаточно слабое поле. Поэтому уместно при конкретизации величины Ug использовать представление о псевдопотенциале, под которым здесь мы будем понимать слабый потенциал, характеристики которого будут взяты из теории псевдопотенциалов (без обстоятельного доказательства). [c.66] Внутри остова происходит почти полная компенсация влияния ядра и электронов остова в связи с особенностями процедуры ортогонализации [15, 16], и в псевдопотенциале Ашкрофта предполагается, что эта компенсация является полной, и на электроны поле как бы не действует. Параметр находится из условия совпадения величины какого-либо надежно определенного физического свойства с результатами расчета с помощью псевдопотенциала пустого остова. Затем, используя найденное (подогнанное, как говорят в литературе о псевдопотенциалах) значение Гс, рассчитывают другие характеристики материала. В качестве опорных свойств выбирают оптические константы, электросопротивление жидких металлов и т. п. [c.70] Сравнение с кулоновским потенциалом показывает, что экранировка вызывает более быстрое затухание потенциала с ростом г и избавляет от расходимости при g = 0 его форм-фактор. [c.72] Очевидно, что это условие не очень жесткое, и б в (4.45) может быть взято не слишком малым. [c.72] В соответствии с формулами (4.40) и (4.48) если электроны находятся в поле периодического потенциала, то на границе зоны Бриллюэна секулярное уравнение имеет два корня, и это соответствует тому, что электроны могут находиться в двух энергетических состояниях с расстоянием между ними 2Ug. Рассмотрим типичный случай с Ug 0. Для него ei = е = ,g/2—jt/gl, ej=e+ = = Ji,g/2 + t/gl- При уменьшении к ei будет убывать, начиная от Е-, а б2 будет расти, начиная от е+. Легко сообразить, что при малых к большие значения (g/2) могут встречаться только для одной из волн. Это видно из уравнения (4.34), поскольку если знаменатель обращается в нуль, скажем, при й = 0, то вблизи любого из k+g он будет достаточно большим. По этой причине при g = 0 (т. е. в начале координат), как и при всех других значениях g, существенной окажется только одна из волн, и энергетические состояния электронов будут аналогичны состояниям для свободных электронов. Общий вид закона дисперсии е(к) изображен на рис. 4.4, который показывает, что в энергетическом спектре электронов возникают зоны разрешенных и запрещенных энергий. Появление запрещенных зон (или, иначе, энергетических щелей) — прямое следствие воздействия на электрон периодического потенциала. [c.72] Рисунок 4.4 показывает закон дисперсии вдоль какого-то одного направления в к-пространстве (в схеме приведенной и расширенной зон). Аналогичные зависимости можно построить и в дру-тих направлениях, причем качественно характер е(к) не зависит от направления. Однако величина трансляции (В разных вправлениях различна, поэтому энергетические щели в различных направлениях по высоте (величине энергии) могут как перекрываться, так и нет. Это изображено на рис. 4.5, точки Г, Н, Р соответственно изображают центр зоны и границы зон Бриллюэна в направлениях [100] и 111]. При наличии перекрывающихся зон электроны в конечном счете могут обладать какой угодно величиной энергии. Если же имеются не-перекрывающиеся во всех направлениях энергетические зоны, то это значит, что соответствующими энергетическим энергии электроны обладать не могут. [c.73] Более полную картину расположения энергетических зон можно получить, построив в к-пространстве изоэнергетичес-кие поверхности (рис. 4.6). При малых к эти поверхности имеют сферический характер. По мере приближения к границам зоны Бриллюэна возникают и усиливаются отступления от сферичности. [c.73] Теперь вспомним, что число электронов в кристалле не бес-лредельно, поэтому они занимают лишь часть (нижнюю) возможных энергетических состояний вплоть до энергии Ферми. Из изложенного выше следует, что если электронов мало, то энергии Ферми должна отвечать сферическая изоэнергетическая поверхность. Если же число внешних электронов достаточно велико, то энергия Ферми может оказаться вблизи запрещенных энергетических зон, и тогда поверхность Ферми будет иметь несферический характер. [c.74] Рассмотрим для простоты одномерную модель металла с примитивной элементарной ячейкой. Если металл одновалентен, то общее число внешних электронов равно числу ячеек N. Число же электронов, которое может заполнить зону Бриллюэна, вдвое больше, поскольку число состояний в зоне равно числу ячеек, причем в каждом состоянии может находиться по два электрона. Таким образом, зоны Бриллюэна одновалентных металлов в невозбужденном состоянии могут быть заполнены только наполовину. В то же время зоны Бриллюэна двухвалентных металлов (в одномерном случае) должны быть заполнены полностью. Более сложной (и менее определенной) может стать ситуация с заполнением энергетических зон в трехмерном случае. Однако и здесь может реализоваться ситуация, когда какие-либо зоны будут заполнены полностью, а какие-то будут совсем пусты. Возможен, конечно, и промежуточный случай, когда незаполненная зона окажется заполненной почти полностью. Возможные следствия различного заполнения зон будут обсуждены несколько позднее. [c.74] Из последних формул ясно, что величина т играет роль массы электрона поскольку она не совпадает с истинной массой электрона, хотя и характеризует меру инертности электрона в кристалле, т+ назвали эффективной массой электрона. Поскольку т — мера инертности электронов, анализ этой величины мы подробнее проведем, обсуждая явления переноса в твердых телах. Здесь же ограничимся общим ее определением. [c.74] Таким образом, электрон в кристалле обладает не обычной, а эффективной массой. [c.76] Уравнение Шредингера и его решение дают информацию не только об энергетических состояниях электронов, но и о волновых функциях, которые вблизи границы зоны Бриллюэна имеют вид (4.41), где к близко к g/2. [c.76] Полученные результаты для поведения волновых функций в зависимости от г позволяют объяснить существование энергетической щели следующим образом. Линейная комбинация плоских волн (бегущих) приводит к появлению стоячих волн с пучностями на ионе (4.54а) и между ионами (4.546). Это значит, что при Ug 0 электроны (отрицательный заряд) скапливаются в окрестности положительных ионов, где потенциальная энергия наименьшая. Такое распределение заряда приводит к понижению энергии, отвечающей данной волне. Скопление же отрицательного заряда в области между ионами (высокой потенциальной энергии) приводит к повышению потенциальной энергии. В результате энергии, отвечающие разным волнам, различны, что и объясняет возникновение зон разрешенных и запрещен-,ных энергий. [c.77] электроны на границе зоны Бриллюэна испытывают вульф-брэгговское отражение. [c.78] Рассмотрим теперь, что произойдет, когда к( окажется меньше (или больше) g/2 . [c.78] Анализ формулы (4.62) показывает, что 1С(к)Р и С(к—g) Р одинаковы на границе зоны Бриллюэна (это совпадает с преды-душ,им рассмотрением) и становятся существенно различными при удалении от этой границы. В частности, вблизи от центра зоны практически только одна из волн остается сильной, амплитуда второй становится на несколько порядков слабее первой и еЮ можно пренебречь. Таким образом, расчеты по формуле (4.62) подтверждают качественные соображения, приведенные в начале данного раздела. [c.78] Вероятность нахождения электрона в соответствующем энергетическом состоянии определяется произведением С(к)12 и С(к—g) на функции Хевисайда 0(fef—fe) и в(йл— к—g ), где 0=1, если аргумент положителен, и нулю, если он отрицателен (это означает, что функции Хевисайда здесь определяют заполнение зон). [c.78] Вернуться к основной статье