ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Блоха и свойства квазиимпульса электрона из "Введение в физику твердого тела " В следующей по сложности модели электрон-ионное взаимодействие учитывается более полно. Полагают, что электроны образуют газ, подчиняющийся принципу Паули и принципу неразличимости одинаковых частиц. Этот газ взаимодействует с трехмерно-периодическим полем кристалла, вследствие чего распределение электронного газа в пространстве становится неоднородным. Именно эта неоднородность не учитывалась в рассмотренных ранее моделях. [c.55] Для упрощения полагают также, что вместо изучения движения всех электронов можно рассматривать движение одного (любого) из них, который движется в поле периодически расположенных ионов. Такой подход называют одноэлектронным. Будем также считать справедливым адиабатическое приближение, согласно которому координаты ядер можно считать фиксированными, поскольку массивные ядра движутся несравненно медленнее,, чем электроны. В случае, когда потенциал взаимодействия электронов с ионами принимается слабым, рассматриваемое приближение нередко называют приближением почти свободных электронов. Отметим, что в целом учет взаимодействия электронов с периодическим полем кристаллической решетки, как будет ясно из дальнейшего, позволил с единых позиций описать характеристики различных типов твердых тел, в том числе металлов, диэлектриков и т. д. Поэтому исходные положения модели и многие ее следствия в определенной мере относятся к любым кристаллическим телам. [c.56] Взаимодействие электрона с полем кристалла может привести к тому, что коэффициенты перед функциями могут перестать быть константами. Естественно допустить, что они будут зависеть от k, но по определению не должны зависеть от х. [c.57] Система уравнений (4.23) замечательна во многих отношениях. Например, будучи одной из форм уравнения Шредингера, она состоит из алгебраических, а не дифференциальных уравнений, что упрощает оперирование с ними. Но наиболее важная его особенность состоит в том, что она связывает коэффициенты С (к). В силу этого соотношения коэффициенты С (к) в волновой функции (4.10) не могут выступать самостоятельно, а обязательно зходят вместе со шлейфом коэффициентов С к ), аргументы которых различаются на g = 2лп/а. [c.59] При этом коэффициенты С (к) распадаются на группы коэффициентов С (к), k g), С к zt 2g),с различными исходными значениями к. Тогда волновая функция i )(x) будет состоять из совокупности волновых функций з(л ), в каждую из которых входят волновые функции С (й + mg) Очевидно, если выбрать исходные значения к так, чтобы они принимали все возможные значения между ближайшими значениями g, то суммарный набор значений к будет включать все возможные значения. [c.59] Функция i 5k (г) в виде (4.27) часто называется блоховской волновой функцией. Приведенное доказательство теоремы Блоха не является единственным. Существуют и другие способы ее доказательства, вводящие, например, в рассмотрение трансляционнук симметрию оператора Гамильтона и т. д. [4, 5]. Решение (4.23), необходимое для определения волновой функции ipk (г), будет проведено в 4. [c.60] Рассмотрим ряд свойств вектора к, характеризующего состояние волновой функции в кристалле. При введении в этой главе вектора к уже указывалось, что этот вектор вводится по аналогии со случаем свободной частицы, имеет размерность обратной длины и определен в обратном пространстве. Здесь нам надлежит выяснить некоторые его свойства, в частности его особенности по сравнению с тем к, который был введен для свободных электронов. [c.60] для нового вектора к смещение в решетке на трансляцию сводится к умножению волновой функции на фазовый множитель. [c.60] Из всего семейства С (к ), где к = к, к — g... и т. д., остается лишь одна константа, в силу чего блоховская волна превращается в волновую функцию свободного электрона. Этот предельный переход подтверждает правильность исходных посылок мы конструировали i 3(r) так, чтобы такой переход был возможен. Одновременно еще раз подтверждается сходство векторов к для нашего-случая и случая свободных электронов. [c.61] Полученный результат означает, что к любому вектору к, характеризующему состояние электронов в среде с периодическим потенциалом, всегда можно добавить любой вектор g обратно решетки, причем это изменение к не приводит к изменению состояния электрона. Мы еще раз показали, что вектор к в рассматриваемом случае определяется с точностью до вектора g. Итак, состояния электронов с векторами к, различающимися на вектора g, эквивалентны. Поскольку вектор к, характеризующий поведение, например, электронов при их взаимодействии с периодическим потенциальным полем, оказывается определенным несовсем однозначно, он приобретает свойства, которые отличают его от волновых векторов тех же электронов, но свободных, не взаимодействующих с периодическим полем. По этой причине к часто называют не волновым, а квазиволновым вектором. Соответственно связанный с ним импульс р называют квазиимпульсом, а частицы в твердых телах, распространяющиеся в периодическом, поле и характеризуемые векторами к, р и т. п., называют квазичастицами (эту приставку иногда все же опускают). [c.61] Вернуться к основной статье