ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнение неразрывности для потенциального движения жидкости в декартовых координатах из "Аэродинамика " Указанное уравнение носит название уравнения Лапласа, а функция , удовлетворяющая этому уравнению,— гармонической функции. Таким образом, для потенциального потока несжимаемой жидкости потенциал скорости будет являться гармонической функцией координат X, у, z. [c.55] Уравнение Лапласа (3. 38) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка. Методы решения этого уравнения в настоящее время достаточно хорошо изучены. Каждому конкретному потенциальному потоку соответствует свой потенциал скорости, т. е. решение уравнения (3. 38). Так как потоков существует бесконечное множество, то уравнение (3. 38) имеет бесчисленное множество решений. Возникает вопрос, как определить решение уравнения (3.38), т. е. потенциал о, из этого бесчисленного множества решений, соответствующий данному конкретному потоку. Для того чтобы найти то решение уравнения Лапласа, которое отвечает телу заданной формы с заданным условием на внешних границах потока, вводятся так называемые краевые, или граничные условия. [c.55] Предположим, что какое-нибудь твердое тело, поверхность которого задана уравнением х, у, z)=0, обтекается потоком, скорость которого на бесконечности (г—оо) параллельна оси х и равна. В таком случае необходимо, чтобы при г=оо скорости и =у =0. [c.55] Отсюда можно заключить, что только гармонические функции могут определять потенциальное течение несжимаемой жидкости. [c.56] Уравнение (3. 39) представляет собой уравнение Лапласа в полярных координатах на плоскости. [c.57] Это означает, что циркуляция вдоль дуги АВ не зависит от формы дуги и равна разности значений потенциала скорости в конечных точках дуги. В случае когда точки А и В совпадают, т. е. контур замкнутый и функция 9 является однозначной функцией координат, циркуляция становится равной нулю. [c.57] Следует отметить, что потенциал скорости может быть как однозначной, так и многозначной функцией координат. [c.57] Поясним это на следующем примере. [c.57] Так как в этом случае щ = 6д = 0, срд = 9в = 2те, ибо при полном обходе круга угол 6 получает приращение 2тг, то циркуляция Г = 2л, т. е. не равна нулю и срд = срд + 27г. [c.58] Рассмотренный пример показывает, что если потенциал не является однозначной функцией точек плоскости, то имеются как замкнутые контуры, циркуляция скорости вдоль которых отлична от нуля, так и замкнутые контуры, циркуляция скорости вдоль которых равна нулю. [c.58] Подставляя в это уравнение значения Ух и Уу, выраженные в функции координат л и у, и интегрируя, можно получить уравнение, связывающее х, у и произвольную постоянную. Каждому значению произвольной постоянной будет соответствовать определенная линия тока. Дифференциальный двучлен, стоящий в левой части уравнения (а), интегрируется крайне просто, так как он оказывается равным полному дифференциалу некоторой функции 41 (х, у). [c.59] Уравнение (3.42) является уравнением семейства линий тока. Давая постоянному С различные значения, будем получать различные линии тока, принадлежащие данному семейству. Функция ф называется функцией тока. [c.59] Выясним физический смысл функции тока Рассмотрим в пространстве, заполненном плоским потенциальным потоком, произвольную дугу, соединяющую какие-либо две точки Л и В (фиг. 3. 13). [c.60] Большое практическое значение в исследовании потенциальных потоков имеет метод наложения потенциальных потоков, заключающийся в следующем. Пусть мы имеем два потенциальных потока, обладающих потенциалами i и 92, удовлетворяюцщми, как известно, уравнению Лапласа, т. е. [c.62] Следовательно, наложение двух и более потоков сводится к простому алгебраическому суммированию потенциалов и функций тока исходных потоков. [c.62] Поэтому, располагая рядом простейших решений, соответствующих некоторым простейшим течениям жидкости, мы путем суммирования различных сочетаний этих решений можем получить более сложные решения, соответствующие более сложным потокам жидкости. [c.62] В последующих параграфах будут рассмотрены наиболее характерные примеры простейших плоских, установившихся потенциальных потоков, комбинацией (наложением) которых могут быть получены сложные практически важные потоки. [c.63] Если положительные части осей х и у, являющиеся нулевыми линиями тока, принять за твердые стенки (а в идеальной жидкости это всегда можно сделать, не нарушая характера течения, ибо в ней отсутствует вязкость), то исследуемое течение будет представлять течение внутри прямого угла (фиг. 3. 17). [c.65] Следовательно, эквипотенциальные линии представляют собой семейство концентрических окружностей (пунктирные линии на фиг. 3. 18), ортогональных к семейству линий тока, центры которых расположены в начале координат. [c.68] Теперь очевидно, что выражения (3.55) — (3.58) представляют потенциал скорости и функцию тока для источника, мощность которого Q=21r. [c.68] Вернуться к основной статье