ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение перемещений по компонентам тензора деформации. Условия совместности деформаций из "Теория упругости " Компоненты вектора перемещения щ (перемещения) и компоненты тензора деформации etj связаны между собой дифференциальными зависимостями Коши (1.44) или, что то же самое, формулой (1.40). Эти зависимости позволяют вычислить компоненты тензора деформации stj непосредственным дифференцированием перемещений мг, которые в соответствии с предположением о сплошности тела являются непрерывными и однозначными функциями координат л ,, произвольной точки тела (1.3). Естественно, что компоненты тензора деформации должны быть также однозначными функциями л ,, и иметь непрерывные производные. [c.22] Для решения обратной задачи, т. е. задачи определения трех функций Ui по компонентам тензора деформации etj, имеем шесть уравнений (1.44). Очевидно, что эта задача не может иметь решения, если компоненты тензора деформации Zij не подчиняются некоторым дополнительным зависимостям. Эти необходимые зависимости обнаружатся при рассмотрении решения поставленной задачи. [c.22] Пусть в занятой телом области V, которую пока полагаем односвязной, заданы функции eг и требуется определить функции ui. [c.22] Шесть постоянных / и ю/у, входящих в формулу Чезаро, определяют произвольное бесконечно малое жесткое смещение тела как целого. [c.23] Таким образом, при заданных компонентах тензора деформации вц перемещения Ut определяются о точностью до произвольного бесконечно малого жесткого смещения . [c.23] Постоянные и , со/ находятся из условий, вытекающих из способа закрепления тела. В случае незакрепленного тела перемещения определятся единственным образом, если потребовать, чтобы в некоторой точке, например, совпадающей с началом координат, перемещения и° и углы поворота со ее окрестности были равны нулю. [c.23] Равенстро (1.93) определяет те дополнительные зависимости между компонентами тензора деформации, необходимость которых отмечалась выше. Эти дифференциальные зависимости, как это следует из способа их получения, представляют собой необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений (1.30). [c.24] Легко обнаруживается, что выражение левой части (1.93) меняет знак, во-первых, при перестановке индексов i и /, а во-вторых, при перестановке индексов k ц I. Поэтому оно тождественно обращается в нуль при i == / и при k = I. Кроме того, это выражение остается 6eS изменения при одновременной перестановке индексов 1) / и /г, / и /, 2) г я I, j и й, 3) i и /, k и I. [c.24] Тогда среди соотношений (1.93), не повторяюш,ихся и не обращающихся тождественно в нуль, будет только шесть при следующих значениях индексов (1212), (2323), (3131), (1213), (2321), (3132). Эти шесть соотношений образуют две группы дифференциальных зависимостей м жду компонентами тензора деформации. [c.24] Две другие зависимости этой группы получаются путем круговой перестановки индексов. [c.24] Выполняя круговую перестановку индексов, получим еще две зависимости второй группы. [c.24] Необходимые и достаточные условия интегрирования уравнений (1.30), выраженные дифференциальными зависимостями (1.93), получены исходя из предположения о непрерывности функций Ui. Поэтому зависимости (1.93) являются также условиями сплошности тела. [c.24] Шесть соотношений, вытекаюш,их из зависимостей (1.93) три типа (1.94) и три типа (1.95), — называются условиями неразрывности или совместности деформаций. Впервые (1864) они были получены Сен-Венаном (1797—1886) и часто называются дифференциальными зависимостями Сен-Венана. [c.25] В случае же многосвязного тела дифференциальные зависимости Сен-Венана (1.93) являю.тся необходимыми и достаточными условиями интегрируемости уравнений (1.30) и лишь необходимыми,/ но недостаточными условиями однозначности перемещений ut. [c.25] Рассмотрим простейшее многосвязное тело, например двусвязный цилиндр, поперечное сечение которого показано на рис. 1.4. [c.25] Любое многосвязное тело можно превратить в односвязное, мысленно производя необходимое число разрезов для т-связного тела требуется т — 1) разрезов. [c.25] Если при определении перемещений в мйогосвязном теле условия (1.96) не будут соблюдены, то перемещения и при выполнении условий (1.93) окажутся многозначными функциями х . [c.26] Рассмотренный путь определения перемещений не является единственным. Следующий параграф посвящен другому, более удобному, способу определения перемещений. [c.26] Вернуться к основной статье