ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Одноатомный мазер из "Квантовая оптика в фазовом пространстве " Заметив, что равенство элементарно справедливо для п = 1, мы, тем самым, доказали справедливость интегральной формулы (18.6) методом индукции. [c.567] ДЛЯ матрицы плотности Ps t) системы. Здесь мы снабдили коммутатор индексом п для напоминания, что член п-го порядка содержит п коммутаторов, и гамильтониан взаимодействия появляется в нём п раз. [c.567] Чтобы представить это уравнение движения для матрицы плотности в замкнутой форме, надо вычислить коммутаторы матриц 2x2, матричными элементами которых являются полевые операторы уничтже-ния и рождения. [c.568] Так как след этой недиагональной матрицы равен нулю, т. е. [c.568] Таким образом, первый неисчезающий вклад в (18.9) появляется во втором порядке и пропорционален дт . [c.569] Здесь использованы определения величин а и (3. [c.569] Подчеркнём, что это уравнение достаточно сложное. Это уравнение для статистического оператора (матрицы плотности) рп, которое содержит также полевые операторы а и а Важен порядок расположения этих операторов относительно рп, так как сама матрица плотности рп тоже содержит полевые операторы. [c.570] Непосредственно решить основное кинетическое уравнение чрезвычайно трудно. Суш,ествует, тем не менее, много методов получения решения. Идея состоит в том, чтобы преобразовать уравнение (18.15) в с-числовое уравнение, используя специальные представления для матрицы плотности, такие как функции распределения в фазовом пространстве или представление чисел заполнения для фотонов. Это и будет темой следуюш,его раздела. [c.570] Уравнение движения (18.15) для матрицы плотности описывает затухание или усиление резонаторной моды. Действительно, первое слагаемое обусловлено атомами в возбуждённом состоянии и должно приводить к усилению, в то время как второй член возникает из-за атомов в основном состоянии и должен описывать уход возбуждений из резонатора, приводя к затуханию. [c.570] Поскольку индекс к в этом уравнении не меняется, то оно, скорее, скалярное, а не матричное рекуррентное соотношение. [c.571] Поведение статистики фотонов удобно представить в виде диаграммы переходов, изображённой на рис. 18.2. [c.572] ДЛЯ среднего числа фотонов. [c.573] Здесь на последнем шаге мы ввели среднее число Птепл фотонов в тепловом состоянии с температурой Т. [c.574] Можно даже показать, что в пределе t оо все недиагональные элементы рт,п матрицы плотности стремятся к нулю, и поле, действительно, находится в равновесном термодинамическом состоянии. [c.574] взаимодействуюш,ее с резервуаром при нулевой температуре, всё еш,ё испытывает затухание. [c.574] В действительности, конечно, такой процесс усиления не может продолжаться до бесконечности, так как всегда есть противодействующий механизм затухания, который, в конце концов, приводит к стационарному среднему числу фотонов. Более подробно мы обсудим эту проблему в разделе 18.4. [c.575] Распределения в фазовом пространстве. Пока мы обсудили эволюцию во времени только одного параметра, характеризующего квантовое состояние, а именно, среднего числа фотонов. Квантовое состояние, однако, определяется либо функцией непрерывной переменной, такой как Р-функция Глаубера-Сударшана, либо распределением для дискретного числа фотонов. В задачах, приведённые в конце данной главы, рассмотрен вопрос о том, как записать уравнение (18.23) для матрицы плотности в с-числовом представлении и решить их с помощью такой техники. Данный подход позволяет рассмотреть влияние на квантовое состояние процессов затухания или усиления. В частности, показано, что усиление всегда вносит дополнительный шум, и распределения в фазовом пространстве уширяются. [c.575] Это соотношение является точным и определяет матрицу плотности поля в момент времени I т, если она задана вместе с атомной матрицей плотности в момент времени t. [c.576] Вернуться к основной статье