ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сжатое состояние из "Квантовая оптика в фазовом пространстве " Здесь Um x) — волновая функция т-го собственного энергетического состояния гармонического осциллятора, заданная выражением (4.2). Волновые функции ф х) = фсоь х) и ф х) = фщ х), соответственно, когерентного и сжатого состояний (4.11) и (4.33) играют эоль Vn x). [c.237] Похоже, мы сталкиваемся с определённой проблемой, так как при выводе формализма интерференции в фазовом пространстве мы использовали представление ВКБ для обеих волновых функций Um x) и Vn x). Однако, в рассматриваемом примере Vn x) не может быть представлена волновой функцией ВКБ-приближения. Тем не менее, слегка подправив формализм, мы получим превосходные результаты. [c.237] 7 собственные энергетические состояния связывающего потенциала были представлены как полосы в фазовом пространстве. В данной главе рассмотрим это представление для случая энергетических собственных состояний гармонического осциллятора. [c.237] Отсюда следует, что площадь не зависит от квантового числа т. [c.238] Можно глубже понять это элементарное представление собственного состояния данной энергии, если переписать формулу для площади в виде /. . [c.239] Поскольку средний радиус увеличивается с ростом квантового числа как квадратный корень из т, ширина уменьшается обратно пропорционально квадратному корню из т. Таким образом, с ростом т кольца становятся всё тоньше и тоньше. [c.239] Действительно, радиальная ширина полосы уменьшается с увеличением квантового числа т. [c.239] ДЛЯ среднего радиуса т-й полосы. Это радиус траектории в фазовом пространстве, отвечающей полуцелому значению т+ 1/2. [c.239] В чём состоит естественный алгоритм вычисления вероятностей У/гп по формуле (8.6) Очевидно, что упомянутое выше квантовомеханическое скалярное произведение является превосходным математическим инструментом для этого. Однако такой подход не позволяет проникнуть глубже в физику. Чтобы лучше понять результат, используем концепцию интерференции в фазовом пространстве. [c.240] Для этого нужно представить в фазовом пространстве два состояния, входящие в скалярное произведение — когерентное состояние фсо х) и собственное энергетическое состояние т). Мы уже нашли выше, что собственное энергетическое состояние представляет круговую полосу. Обратимся к соответствующему представлению когерентного состояния. [c.240] Энергетическое распределение как результат простого перекрытия. Понятие интерференции в фазовом пространстве связывает вероятность обнаружения в когерентном состоянии ш-го энергетического состояния с площадью перекрытия этих двух состояний в фазовом пространстве. [c.240] Есть ещё одно свойство, которое отчётливо проявляется в таком наглядном представлении энергетического распределения пуассоновское распределение асимметрично по отношению к максимуму. В гауссовском пределе (8.6) мы пренебрегли этим свойством. Однако в формализме перекрытия оно становится очевидным. Действительно, так как площадь каждой полосы постоянна, а радиус возрастает с ростом квантового числа, ширина Ат каждой полосы уменьшается. Следовательно левая половина круга, отвечающего когерентному состоянию, может уместить меньшее количество состояний, чем правая. Это естественно приводит к асимметрии энергетического распределения. [c.241] Полученный результат противоречит гауссовскому пределу пуассоновского распределения, в котором предсказывается значение л/2 а. Это ясно указывает на то, что наш формализм вычисления вероятностей схватывает суть дела, но не совсем правилен. Это становится ещё яснее, если теперь вычислить площадь перекрытия аналитически. [c.241] Количественный анализ. Покажем теперь, что наш формализм предсказывает для площади перекрытия Ат между т-й полосой Планка-Бора-Зоммерфельда и кругом (8.7) не гауссовскую, а корневую зависимость от квантового числа т. [c.241] В предыдущей главе мы нашли, что вероятности получаются при делении площади перекрытия на 2тгЙ. Так как в наших единицах Й = 1, этот нормировочный множитель равен 2тг. [c.242] Предполагаемое распределение вероятностей У/т = имеет, таким образом, максимум при т = — 1/2 в согласии с формулой (8.6). Однако полуширина этого распределения по т равна 2а в противоречии с предсказанием л/2 а. Поэтому такой элементарный подход, хотя и даёт более глубокое представление об энергетическом распределении когерентного состояния, всё же не позволяет выяснить всю правду. [c.243] Таким образом, в квазиклассическом пределе энергетическое распределение Ут когерентного состояния есть перекрытие в фазовом пространстве гауссовского колокола когерентного состояния и соответствующей полосы Планка-Бора-Зоммерфельда состояния с квантовым числом т. [c.244] Обратимся теперь к случаю сжатого состояния. В частности, мы хотим глубже понять происхождение осцилляций энергетического распределения сильно сжатого состояния. Наш подход аналогичен тому, который был использован в предыдуш,ем разделе для изучения когерентного состояния. [c.245] Везде в данном разделе мы используем безразмерные переменные в фазовом пространстве. [c.245] Вернуться к основной статье