ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Матрица плотности краткое введение из "Квантовая оптика в фазовом пространстве " В случае гармонического осциллятора как координатные, так и импульсные переменные входят квадратично. Поэтому соответствующие волновые функции очень похожи. В частности, импульсная волновая функция также задаётся полиномами Эрмита (см. задачу 2.1). [c.65] Вектор состояния содержит полную информацию о квантовой системе. Однако во многих случаях мы не знаем всех деталей рассматриваемой системы. Это может быть, например, в случае, когда она имеет слишком большое число степеней свободы. В частности, когда система взаимодействует с резервуаром, мы не можем проследить за движением составных частей последнего. Примерами таких систем могут служить спонтанное излучение атома или затухание излучения в резонаторе. В этих случаях невозможно описать систему вектором состояния и требуется введение нового понятия. [c.65] Для того, чтобы наше рассмотрение носило максимально общий характер, будем считать, что функция ит х) комплексна. [c.65] В связи с этим нужно ещё раз подчеркнуть, что в общем случае мы не различаем плотность вероятности и вероятность. Более того, мы обычно будем называть У/ х) вероятностью обнаружения частицы в точке с координатой х, хотя на самом деле подразумевается, что эта вероятность равна х)(1х, и вместо точки х имеется в виду интервал между X и X (1х. [c.66] Заметим, однако, что вероятность найти частицу в точке х, при условии, что она приготовлена в данном суперпозиционном состоянии ф) (2.18), не равна просто сумме отдельных определённых выше вероятностей, но включает также двойную сумму, содержащую произведения ф фпи х)ип х) С т п. С этими дополнительными слагаемыми связано фундаментальное различие между классической и квантовой механикой. [c.66] Заметим, что в общем случае в операторах возможные комбинации тип. Комплекснозначные числа рт,п = ФтФ образуют матрицу, элементы которой состоят из произведений коэффициентов разложения ф . Поскольку оператор р можно использовать для вычисления плотностей вероятности, например, вероятности нахождения в данной точке и т.п., то его называют матрицей плотности или статистическим оператором, а матричные элементы рш,п образуют матрицу плотности в энергетическом представлении. [c.68] в отличие от суперпозиции состояний, возникают операторы т) (п только с т = п. [c.68] В заключение отметим, что имеются два типа средних значений. Первый возникает в рамках квантовой механики и следует из того, что квантовое состояние допускает только статистическое описание. Второй тип средних значений чисто классический. Он отражает тот факт, что у нас нет полной информации о системе, мы даже не знаем, в каком квантовом состоянии система находится. В результате возникает усреднённая матрица плотности р. В то время, как в первом случае можно описывать состояние системы вектором состояния, во втором следует обратиться к формализму матрицы плотности. Иногда векторы состояний называют чистыми состояниями, а усреднённые матрицы плотности описывают смешанные состояния В оставшейся части книги мы не будем делать различий между р и р, и станем писать р даже тогда, когда будем иметь дело со смешанными состояниями. [c.69] Здесь мы ввели операцию следа, то есть осуществили суммирование диагональных элементов матрицы плотности. [c.70] Среднее значение равно следу. След играет центральную роль в квантовой механике, так как он позволяет вычислять средние значения операторов. Такая величина включает два усреднения. [c.71] Среднее значение оператора О в квантовом состоянии, которое описывается матрицей плотности р, есть след произведения О и р. [c.72] В этом случае квантовая система находится в единственном состоянии, то есть её состояние является не смешанным, а чистым состоянием. [c.72] На последнем шаге мы использовали уравнение на собственные значения оператора энергии. [c.73] Поэтому среднее число тепловых квантов определяется температурой Т. [c.74] Вернуться к основной статье