ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Результаты теории устойчивости для пограничного слоя на продольно обтекаемой пластине из "Теория пограничного слоя " Над математическим обоснованием предположения Рейнольдса работали многие ученые в течение многих десятилетий. В частности, после самого О. Рейнольдса этой проблемой занимался Рэйли [ ]. Эти теоретические исследования, приводившие к очень сложным расчетам, долгое время были безуспешными. Только в начале тридцатых годов текущего столетия Л. Прандтлю и его сотрудникам удалось удовлетворительно решить первоначально поставленную задачу — теоретически найти критическое число Рейнольдса. Спустя еще десять лет X. Л. Драйдену и его сотрудникам удалось подтвердить теорию устойчивости экспериментально, причем получилось блестящее совпадение между теорией и экспериментом. Сводные обзоры исследований по теории устойчивости ламинарного течения опубликованы Г. Шлихтингом [ ], и Ц. Ц. Линем [ ] см. также книгу Д. Мексина [ ]. [c.422] При этом в большей части случаев предполагается, что скорости и давление возмущающего течения малы по сравнению со скоростями и давлением основного течения. [c.423] При пользовании вторым методом допускаются только такие возмущающие движения, которые совместимы с гидродинамическими уравнениями движения, и исследуется развитие во времени возмущающего движения на основе этих же дифференциальных уравнений. Такой метод, называемый методом малых колебаний, привел в настоящее время к полному успеху. [c.423] Как показали Г. Б. Шубауэр и П. С. Клебанов [ ], имеются основания предполагать, что в действительных течениях обе эти составляющие скорости никогда не равны нулю. Правда, их величина в большей части случаев пренебрежимо мала. Тем не менее они, по-видимому, играют важную, но пока невыясненную роль в процессе перехода ламинарной формы течения в турбулентную. [c.423] Таким образом, мы имеем три уравнения для определения трех величин и у, р , Граничными условиями будут равенства нулю составляющих и и V скорости возмущающего движения на ограничивающих стенках условие прилипания). Из двух уравнений (16.7) и (16.8) можно легко исключить давление р, следовательно, для определения и и V остаются два уравнения (включая уравнение неразрывности). [c.424] Можно было бы выдвинуть возражение против допущения, что для определения основного течения в пограничном слое пригодна система величин (16.4), т. е. против пренебрежения нормальной составляющей У скорости основного течения и зависимостью продольной составляющей V от координаты х. Однако И. Преч доказал, что если сохранить в расчетах величину V и зависимость и от х, то обусловленные этим члены не оказывают никакого влияния на исследование устойчивости пограничного слоя. См. по этому поводу также статью С. И. Чена [ ]. [c.424] Величина с представляет собой скорость распространения волн в направлении X фазовая скорость), а опять является величиной, позволяющей судить о затухании или нарастании колебания. А именно, если О, то происходит затухание, если же О, то имеет место нарастание колебания. [c.425] Физический смысл имеет только вещественная часть 91 функции тока, т. е. [c.425] Ко] плексная запись (16.10) применена ввиду ее удобства для расчетов. [c.425] Против принятой здесь формы возмущающего движения можно было бы сделать следующее возражение для полного исследования устойчивости необходимо рассматривать трехмерное возмущающее движение даже в том случае, если основное течение двумерно. Однако Г. Б. Сквайр показал, что это возражение неосновательно. А именно, он предположил, что возмущающее движение имеет периодическую составляющую также в направлении 2, и выяснил, что при таких трехмерных возмущениях плоское течение становится неустойчивым при более высоких числах Рейнольдса, чем при двумерных возмущениях. Следовательно, в этом смысле двумерные возмущения для плоского течения более опасны , чем трехмерные. Это означает, что для определения критического числа Рейнольдса как самой нижней границы устойчивости следует исходить из рассмотрения именно двумерных возмущений. [c.426] Результат расчета заданного ламинарного течения 7 (у) на устойчивость можно изобразить графически, если каждой точке плоскости а. Ре сопоставить пару значений Сг, Особый интерес представляет кривая С1 — О (рис. 16.8), отделяющая область устойчивых значений а и Ре от области неустойчивых их значений и поэтому называемая нейтральной кривой. [c.426] В свою очередь на этой кривой главный интерес представляет точка с наименьшим числом Рейнольдса, лежащая на касательной, параллельной ОСИ а. При еще более низких значениях числа Рейнольдса все отдельные колебания затухают, а при более высоких — по крайней мере некоторые отдельные колебания нарастают. Наименьшее число Рейнольдса, определяемое нейтральной кривой, представляет собой теоретическое критическое число Рейнольдса исследуемого ламинарного течения оно называется также пределом устойчивости. [c.427] Как уже было сказано в 1 настоящей главы, последние экспериментальные результаты Г. В. Эммонса [ ], а также Шубауэра и Клебанова [ ] показали, что вообще не существует строго определенной точки перехода ламинарное течение преобразуется е полностью турбулентное всегда на протяжении некоторой5переходной области. [c.427] Математическая разработка проблемы устойчивости, о которой мы дали только краткое представление, чрезвычайно трудна. Именно по этой причине понадобились десятилетия упорного труда, прежде чем была достигнута поставленная цель теоретического определения критического числа Рейнольдса. Само собой понятно, что в рамках настоящей книги невозможно дать исчерпывающее изложение теории устойчивости ламинарного течения поэтому мы ограничимся только обзором наиболее важных результатов. [c.428] Отбрасывание в уравнении Орра — Зоммерфельда членов, зависящих от вязкости, представляет собой операцию, чреватую очень серьезными последствиями. В самом деле, понижая порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго, мы, возможно, теряем важные свойства общего дифференциального уравнения возмущающего движения. К этому случаю применимы все соображения, высказанные в главе IV по поводу перехода от дифференциальных уравнений Навье — Стокса для вязкой жидкости к уравнениям Эйлера для жидкости без трения. [c.428] Старые исследования по устойчивости ламинарного течения основывались главным образом на уравнении (16.16), т. е. на дифференциальном уравнении возмущающего движения без учета трения. Конечно, такого рода исследования не могли привести к вычислению критического числа Рейнольдса они только позволяли судить о том, устойчиво или неустойчиво ламинарное течение, в той мере, в какой это вообще возможно сделать при введенном допущении о независимости возмущающего движения от вязкости. Лишь спустя много времени удалось найти способы исследования полного дифференциального уравнения возмущающего движения (16.14). Однако потребовалось много усилий, сначала сопровождавшихся неудачами, прежде чем удалось достигнуть успеха в теоретическом вычислении критического числа Рейнольдса. [c.428] Тем не менее еще Рэйли удалось получить некоторые важные выводы об устойчивости ламинарного профиля скоростей на основе дифференциального уравнения возмущающего движения без учета вязкости. Эти выводы впоследствии были подтверждены и для случая, когда влияние вязкости учитывается, т. е. для полного дифференциального уравнения (16.14). [c.428] Первая теорема. Первым таким весьма общим выводом является теорема, выясняющая роль наличия точки перегиба на профиле скоростей. Согласно этой теореме, профили скоростей, имеющие точку перегиба, неустойчивы. [c.429] Рэйли вывел этот критерий, т. е. роль точки перегиба, только как необходимое условие для возникновения неустойчивых колебаний. Впоследствии В. Толмин 1 ] доказал, что этот критерий дает также достаточное условие для существования нарастающих колебаний. Этот критерий имеет фундаментальное значение для всей теории устойчивости, так как он — до внесения поправки на влияние вязкости — дает первую грубую классификацию всех ламинарных течений с точки зрения их устойчивости. Практически весьма важно следующее обстоятельство существование точки перегиба у профиля скоростей непосредственно связано с градиентом давления течения. При течении в суживающемся канале (рис. 5.14), когда имеет место падение давления в направлении течения, получается целиком выпуклый, заполненный профиль скоростей без точки перегиба. Наоборот, при течении в расширяющемся канале, когда имеет место повышение давления в направлении течения, получается урезанный профиль скоростей с точкой перегиба. Такая же разница в форме профиля скоростей наблюдается и в ламинарном пограничном слое на обтекаемом теле. Согласно теории пограничного слоя, профили скоростей в области падения давления не имеют точки перегиба наоборот, в области повышения давления они всегда имеют точку перегиба (см. 2 главы VII). Следовательно, точка перегиба профиля скоростей играет в вопросе об устойчивости пограничного слоя такую же роль, как и градиент давления внешнего течения. Для течения в пограничном слое это означает падение давления благоприятствует устойчивости течения, повышение же давления, наоборот, способствует неустойчивости. Отсюда следует, что при обтекании тела положение точки минимума давления оказывает решающее влияние на положение точки перехода ламинарного течения в турбулентное. В первом, грубом приближении можно считать, что положение точки минимума давления определяет положение точки перехода, а именно точка перехода лежит немного ниже по течению точки минимума давления. [c.429] Влияние вязкости, которым мы пренебрегли в предыдущих рассуждениях, мдло изменяет полученный результат. Только что рассмотренная неустойчивость профиля скоростей с точкой перегиба, возникающая в предположении, что трение не влияет на возмущающее движение, называется невязкой неустойчивостью. На диаграмме устойчивости (рис. 16.8) невязкая неустойчивость определяется нейтральной кривой типа а. Эта кривая имеет горизонтальную асимптоту, проходящую на конечном расстоянии от оси Ре. Следовательно, при Ре = оо уже существует некоторая неустойчивая область возмущающих волн с конечной длиной. При переходе к меньшим числам Рейнольдса эта неустойчивая область отделяется от устойчивой области нейтральной кривой. [c.429] Вернуться к основной статье