ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрические свойства характеристик в плоскости uw. Невозможность существования точек из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Введем специальную плоскость годографа для изучения осесимметричных трансзвуковых течений. Исследование отображений в эту плоскость позволяет обобщить ряд известных свойств плоских трансзвуковых потоков. [c.305] Здесь ж, у — декартова система координат в физической плоскости (ось Ох совпадает с осью симметрии, у = у ), и = (/с + 1)(Л — 1) +. .., V = к 1)(3 +. .. [c.305] Введем специальную плоскость годографа иги. Эта плоскость получается растяжением в каждой точке плоскости годографа скорости (г , у) в у раз в направлении оси у. Пусть оси х, и направлены горизонтально вправо, оси гп, у — вертикально вверх. [c.305] Так как J О при г О, отображение области дозвуковых скоростей в плоскость игу является локально однолистным (J обращается в нуль только в изолированных точках). Кроме того, ориентации соответствующих контуров в плоскостях ху и игу оказываются противоположными. Поэтому имеет место следующее обобщение закона монотонности вектора скорости на звуковой линии, установленного в [70] для плоских потенциальных течений (см. гл. 1, 11). [c.305] Перемещению по звуковой линии, при котором область дозвуковых скоростей остается слева, соответствует монотонное убывание гу. [c.305] Если при таком перемещении у монотонно возрастает, то будет убывать и у, т.е. вектор скорости монотонно поворачивается по часовой стрелке. Последнее справедливо и в рамках точных уравнений осесимметричных потенциальных течений для участка звуковой линии, где /3 О и где при указанном направлении обхода функция тока ijj монотонно возрастает. [c.305] В дозвуковой области вне оси симметрии может обращаться в нуль только в изолированных точках. [c.306] Из первого уравнения следует, что в течении, описываемом приближенной системой уравнений (1), направление звуковой линии является характеристическим в точках К вертикальности звуковой линии в этих точках У = 0. [c.306] Из (5) следует, что в соответствующих точках плоскостей х, пу и иу имеет место взаимная ортогональность разноименных характеристик. [c.306] С помощью второй формулы (6) легко доказывается, аналогично случаю плоского течения (см. гл. 1), что образ вершины выпуклого угла в плоскости иу —характеристика. [c.306] Рассмотрим особенности отображения в плоскость uw. [c.307] при переходе через которую в плоскости uw якобиан J меняет знак, называется линией ветвления она является краем складки отображения в плоскость годографа. В связи с нелинейностью системы (4) линия ветвления в общем случае не будет характеристикой. Исключение возможно, только когда вдоль характеристики распространяется разрыв первых производных составляющих скорости. [c.307] В достаточно малой окрестности линии ветвления в плоскости uw характеристики располагаются по одну сторону от края складки. Ввиду непрерывности касательной к характеристике в области непрерывности поля вектора скорости, получим, что в общем случае линия ветвления в плоскости UW состоит из отрезков, каждый из которых является огибающей характеристик одного семейства и геометрическим местом точек возврата характеристик другого семейства. На линии ветвления меняют знак производные от г и li по направлению характеристики того семейства, изображение которой имеет в плоскости uw точку возврата кривизна этой характеристики в физической плоскости меняет знак. [c.307] Рассмотрим характеристику, выходящую из произвольной точки О звуковой линии. Если при перемещении по ней от звуковой линии у убывает, то w wo на характеристике первого семейства я w wo ядi характеристике второго семейства. [c.307] Доказательство достаточно провести для характеристики первого семейства. Возьмем случай, когда на характеристике в плоскости иги имеются точки возврата, так как в противном случае доказательство тривиально. Разобьем характеристику на отрезки точками возврата и пронумеруем их в направлении от звуковой линии. На первом отрезке будет ги Второй отрезок лежит не ниже касательной к первому отрезку в крайней правой его точке. Поэтому на втором отрезке будет также ги ги и т. д. [c.308] Будем называть точку К вертикальности звуковой линии точкой (К-), если звуковая линия в этой точке обращена выпуклостью в сторону области сверхзвуковых (дозвуковых) скоростей. [c.308] Покажем, что внутри области течения не существует точек К (ср. [c.308] Выше было доказано, что гпА и)в-С другой стороны, из закона монотонности ги на звуковой линии (см. 1) следует обратное неравенство гив Таким образом, предположение о существовании точки К- привело к противоречию. [c.308] Как следствие получим отсюда, что на звуковой линии может существовать не более одной точки К . [c.308] Вернуться к основной статье