ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Наклон звуковой линии на теле и на ударной волне в плоском и осесимметричном течении из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Точный смысл названия этого параграфа несколько другой несуще-ствоваше плоского сверхзвукового обтекания ограниченного или полубесконечного тела безграничным равномерным на бесконечности потоком с непрерывным полем скорости. [c.219] В связи с развитием ракетно-космической техники одной из самых актуальных задач аэродинамики пятидесятых годов была задача обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком. Эта задача представлялась весьма трудной по следующим причинам. [c.220] Предлагавшиеся сначала обратные методы (например, [144]), в которых тело отыскивалось по заданной ударной волне, в силу некорректности задачи Коши в области эллиптичности оказались не очень удачными, что даже породило в отношении этой задачи некоторый пессимизм. Поэтому весьма неожиданным оказалось решение (его подробное описание дано в [49]), полученное О. М. Белоцерковским [7, 8, 9, 10, 11,14,15,16] методом интегральных соотношений, предложенным в общем виде А. А. Дородницыным на Ш Всесоюзном математическом съезде в 1956 г. [c.220] Как показал тщательный эксперимент, проведенный Г. М. Рябинко-вым [13], в расчетах был достигнут весьма высокий уровень точности. (На рисунках 8.3-8.5 приведены полученные расчетом и в эксперименте формы отошедшей ударной волны при обтекании сферы и эллипсоидов вращения при разных числах Моо на рисунках 8.6, 8.7 даны сравнения распределения давления по сфере и эллипсоиду. Парис. 8.8 воспроизведено [13] сравнение с экспериментом зависимости от Моо величины отхода ударной волны при обтекании сферы.) Рассмотренная задача оказалась, по существу, первой задачей трансзвуковой вихревой аэродинамики, в рамках которой удалось сформулировать и понять ряд новых и интересных явлений, некоторые из которых анализируются ниже. [c.220] Математическая задача, позволяющая построить дозвуковой поток, ставится в более широкой области — в так называемой минимальной области влияния смешанного до- и сверхзвукового течения, которую мы называем (см. гл. 3, 1) М-областью. Для двумерных (плоских и осесимметричных) течений она состоит из области дозвуковых скоростей и прилегающих к ней сверхзвуковых областей, каждая из которых покрыта характеристиками обоих семейств, выпущенными из точек границы дозвуковой области. Поэтому граница М-области в общем случае содержит отрезки характеристик. Из этого определения следует, что малые возмущения границы М-области распространяются по всей М-области. [c.223] Наиболее простой пример области смешанного течения дает теория сопла Лаваля хорошо спрофилированное сопло содержит М-область, в которой течение непрерывно (отсутствуют скачки уплотнения). Область смешанного течения может возникать также и при обтекании тела потоком дозвуковой (на бесконечном удалении) скорости. Если эта скорость достаточно велика, т. е. превосходит некоторое критическое значение, вблизи тела образуется зона сверхзвукового потока. Хотя в принципе возможен случай непрерывного течения, типичным является образование в этой зоне скачка уплотнения. М-областью здесь является вся область течения — внешность обтекаемого тела. [c.223] Вопрос о постановке корректной задачи в М-области относится к компетенции теории нелинейных уравнений смешанного типа. Наиболее существенным образом нелинейность уравнений проявляется вблизи звуковой линии — линии изменения типа уравнения. Действительно, если предположить, что коэффициенты квазилинейного уравнения, которые на самом деле зависят от решения краевой задачи, известны, то полученное таким образом линейное уравнение может быть приведено к одной из канонических форм. Тип канонической формы и определяет характер вырождения уравнения вблизи звуковой линии, который проявляется наиболее существенным образом в вопросе о правильной постановке основных краевых задач. Так, теорема М. В. Келдыша (см. гл. 1, 18) в зависимости от типа канонической формы устанавливает корректность либо задачи Дирихле, либо задачи Е в области эллиптичности, примыкающей к линии вырождения. [c.223] Для квазилинейного уравнения плоских потенциальных течений новые независимые переменные г/, /3, в которых уравнение Чаплыгина единственным образом приводится к каноническому виду, связаны с компонентами скорости (см. гл. 1, 18). [c.223] В общем случае криволинейной звуковой линии естественно предполагать, что аналитичность решений уравнений эллиптического типа имеет место вплоть до линии вырождения — звуковой линии. Это означает, что класс решений уравнений газодинамики в М-области состоит из функций, аналитических в дозвуковой области и непрерывных в сверхзвуковой — со слабыми разрывами, распространяющимися (быть может) вдоль изолированных характеристик. Упрощенно криволинейную звуковую линию в М-области можно представлять состоящей из конечного числа отрезков, внутри каждого из которых вектор скорости — аналитическая функция длины дуги. Таким образом, М-область представляет собой объединение подобластей эллиптичности и гиперболичности решения корректных краевых задач в этих подобластях должны сращиваться (по условиям непрерывности ф, фп) ПОЧТИ во всех точках звуковой линии. Так как в рассматриваемом случае звуковая линия не является характеристикой, отсюда следует требование непрерывности на звуковой линии обеих компонент вектора скорости. [c.224] В качестве составных задач, на основе которых компонуется описание течения в М-области, можно, например, рассматривать задачу Дирихле в области эллиптичности и задачу Коши-Гурса в области гиперболичности (как краевые условия в ней задаются значения искомой функции ф на звуковой линии и на характеристике). Тогда построение решения в М-области будет состоять в подборе распределения искомой функции ф на звуковой линии, исходя из условия непрерывности ее нормальной производной. Отсюда следует, что произвольное граничное условие нельзя задавать на всей границе М-области — от него должна быть освобождена одна из двух характеристик, ограничивающих каждый характеристический треугольник, примыкающий к звуковой линии. [c.224] Сложность вопроса о корректной постановке краевой задачи в М-области можно проиллюстрировать на модели плоского обтекания профиля слабо сверхзвуковым потоком в предположении, что изменения энтропии на головной ударной волне пренебрежимо малы. Хотя в этом случае можно использовать плоскость годографа скорости, нелинейный характер краевой задачи сохраняется, так как одна из границ М-области в плоскости годографа — образ контура профиля (иначе говоря, распределение скорости вдоль профиля) — остается неизвестной. Эта кривая должна подбираться с учетом выполнения на ней двух граничных условий—условия непротекания и условия для наклонной производной ((1.27), гл. 1, 16). [c.224] Ввиду упомянутых трудностей анализ М-области (в общем случае вихревого плоского и осесимметричного течения за ударной волной) будет производится на основе наиболее простой схемы течения, навеянной аналогией с задачей обтекания клина. Как показывают результаты решения прямой задачи численными методами, эта схема действительно реализуется при обтекании широкого класса практически важных тел [13 . [c.226] Систематические численные исследования плоского и осесимметричного обтекания равномерным сверхзвуковым потоком гладких выпуклых тел и тел с угловой точкой в трансзвуковой области показали, что на практике реализуются три главных типа формы М-области. При плоском симметричном обтекании реализуются только типы I, П переход одного типа в другой определяется числом набегающего потока и показателем адиабаты. В осесимметричном течении могут встречаться все три типа, причем тип М-области будет зависеть и от формы тела (в значительной степени — от кривизны тела в звуковой точке и от кривизны ударной волны на оси симметрии). Подробная классификация М-областей и соответствующие теоретические исследования приводятся в 6. [c.226] Наличием или отсутствием на звуковой линии точек К определяются глобальные свойства М-области, а именно количество и расположение примыкающих к звуковой линии сверхзвуковых подобластей. [c.227] Таким образом, полезно заранее знать величины углов наклона звуковой линии к линии тока в характерных точках М-области — на пересечениях звуковой линии с телом и с ударной волной. Эта информация позволяет сделать качественный вывод о числе и расположении точек К разного типа, что может служить основой классификации М-областей. Итак, установим оценки для угла наклона звуковой линии на теле и на ударной волне, следуя [8 . [c.227] При осесимметричном обтекании равномерным сверхзвуковым потоком с отошедшей ударной волной, когда тело находится на оси симметрии, вихръ на теле конечен [105]. Конечный вихрь на теле (хотя на оси симметрии вихрь равен нулю) получается из-за того, что коэффициент Ламе /i2 по направлению нормали к линии тока при приближении линии тока к телу стремится к нулю как у, где у — ордината точки пересечения этой линии тока с ударной волной. При конечной кривизне ударной волны вихрь вблизи точки пересечения ударной волны с осью симметрии также пропорционален у. Конечность кривизны ударной волны в этой точке доказана б [123 . [c.228] При е 2 угол будет острым при всех значениях чисел Моо отношение длин осей эллипсоида (поперечной к продольной). [c.228] Таким образом, при к ф 1 с1 п.ро/ 82 с к,М )усК , где А к, Моо) — некоторая постоянная. [c.229] Если учесть, что кривизна ударной волны К определяется глобальными свойствами решения в М-области, то представляется возможной такая деформация тела вблизи звуковой точки, которая мало изменяет кривизну ударной волны, но сильно изменяет кривизну тела вблизи звуковой точки, делая ее больше величины АусК после проведения такой деформации угол наклона звуковой линии станет острым (даже если до деформации у он был тупым). Увеличение кривизны тела вблизи звуковой точки равносильно увеличению затупления этим и объясняется при- о х веденная выше зависимость от соотношения осей эллипсоидов. [c.229] В предположениях теории гиперзвуковых течений получим, что (Ипро/ 32 с ОС и, следовательно, вихревой член в (1) будет преобладающим (кривизна ударной волны К имеет порядок кривизны тела). [c.229] Вернуться к основной статье