ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы К вопросу о единственности асимптотики. Автомодельное решение при Угловая точка при обтекании тела узкой сверхзвуковой струей. Несуществование степенной асимптотики из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Ниже рассматривается вопрос об однолистности сверхзвуковой области, соответствующей области определения решения ф и, у) в физической плоскости. [c.206] Условия ф = О на характеристике и г(г ) О при г О, обеспечивают отсутствие линий ф = О, проходящих в области определения решения в плоскости годографа из точки О1 (в противном случае могла бы быть сформулирована задача Коши-Гурса с нулевыми данными на характеристике и на этой линии). Таким образом, однозначность решения в физической плоскости зависит только от наличия или отсутствия предельных линий, выходящих из точки 0 . [c.206] Ввиду сделаннных выше предположений о функции г у) (г у) r t) при у I, т у) 0) имеем ь у) О при г 0. Таким образом, на звуковой линии при г О не существует точек предельной линии. [c.206] Покажем теперь, что в достаточно малой сверхзвуковой окрестности точки О1 не существует предельных линий. [c.207] Предположим обратное. Рассмотрим в плоскости иу область сверхзвуковых скоростей, примыкающую к звуковой линии, ограниченную предельной линией и не содержащую внутри других предельных линий. [c.207] Прообраз этой области в физической плоскости однолистен и, в соответствии с 1, лежит в четвертом квадранте точки О. Предельная линия выходит из точки О, поэтому она является огибающей характеристик второго семейства. [c.207] Проведем из произвольной точки А (достаточно близкой к точке О) характеристику второго семейства. Из рассмотрения годографа (как и в 1) следует, что она должна войти в угловую точку. Однако предварительно эта характеристика коснется огибающей обозначим точку касания через Е (рис. 7.6). [c.207] Аналогично 1 можно установить, что все предельные линии, выходящие из точки О1, могут быть только огибающими характеристик второго семейства, поэтому продолжение характеристики АЕ (за точку Е)ш имеет точек возврата. [c.207] Проведем касательную к характеристике в точке Е. Так как угол наклона характеристики является монотонной функцией длины ее дуги. [c.207] Из предыдущего ясно, что если продолжить характеристику АЕ за точку Е отрезком ВЕ касательной к характеристике в точке Е, то этот отрезок должен пересечь ось (р, так как в противном случае характеристика АЕ не сможет быть продолжена до точки О (на ВЕ и и ). [c.208] Асимптотическое исследование решения краевой задачи вблизи характерной точки границы в общем случае имеет целью получение априорной информации о решении, не зависящей от краевых условий на удаленной от этой точки части границы. При этом необходимо, чтобы решение любой краевой задачи (из некоторого класса) вблизи указанной точки имело в качестве главного члена асимптотического разложения более или менее однозначно определенное точное решение. Существование такого решения — асимптотики — не является само собой разумеющимся. [c.209] При определении этого решения во внимание принимаются только те граничные условия корректно поставленной задачи, которые задаются на участках границы вблизи рассматриваемой точки. Если область определения решения содержит эллиптическую подобласть, то решение указанной локальной задачи не единственно. Однако, как правило, выбор надлежащего асимптотического представления удается произвести, воспользовавшись дополнительными требованиями. Например, при обтекании угла это будет условие, что линия тока, проходящая через угловую точку, является границей течения — внутри области течения не содержится других линий тока, входящих в угловую точку. Как будет показано в 4, это условие в данном конкретном случае не позволяет все же сделать однозначный, выбор. [c.209] Именно так была сформулирована задача в физической плоскости в работе [157 . [c.210] В плоскости годографа скорости задача формулируется (и решается) гораздо проще. Возможность применения плоскости годографа при рассмотрении течения, характерного не только для плоских потенциальных, но и для вихревых и пространственных течений, обосновывается тем, что с физической точки зрения эти эффекты должны иметь вторичный характер и не должны оказывать существенного воздействия более подробно об этом будет сказано в -. [c.210] Задача сильно упрощается, если считать, что кривизна луча О А в точке О равна нулю. Предполагается, что случай отличной от нуля, но конечной кривизны может быть учтен в высших приближениях асимптотического разложения. Это обстоятельство также более подробно обсуждается в 4. Тогда условие 1 задается на прямой О А в физической плоскости либо на линии /3 = О в плоскости годографа. [c.210] Показатель автомодельности п является величиной подлежащей определению. Фазовые плоскости st и Е(р подробно изучались в работах [32, 84 . Р. Вальо-Лаурин использовал для исследования плоскость st. [c.211] Опишем процедуру отыскания нужного решения в плоскости Гф. Как было установлено [84], линия тока изображается особой точкой А (Г = О, ф = представляющей собой критический узел интегральных кривых уравнения (8). [c.211] Дальнейшие аналитические исследования подтвердили правильность значения n = 5/4, причем это оказалось возможным сделать двумя способами — в физической плоскости и в плоскости годографа. [c.212] Рассмотрим теперь эту задачу в плоскости годографа скорости. [c.212] Как уже упоминалось, необходимо найти решение уравнения Трикоми для функции тока, удовлетворяющее условию = О на луче г = О, г О и на характеристике V = (2/3)г / при г 0. [c.212] Вернуться к основной статье