ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Наклон звуковой линии в угловой точке. Направление выпуклости звуковой линии из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Рассматривается класс решений уравнений газодинамики в плоскости годографа (в трансзвуковом приближении рассматриваются решения уравнения Трикоми), которым в физической плоскости соответствуют течения с угловой точкой, вблизи которой происходит переход через скорость звука. Устанавливается форма звуковой линии вблизи угловой точки. [c.203] Здесь Л = l + (/ + l) г + 0(г ), 3 = (/с +1) г + 0(г ), Л —коэффициент скорости, /3 — угол наклона вектора скорости. [c.203] Без ограничения общности можно считать, что функция тока течения, содержащего в физической плоско сти угловую точку О, из которой выходит звуковая линия, в плоскости годографа определена решением задачи Коши-Гурса с граничными условиями ф = т у) при г = 0, г 0ит/ = 0на характеристике первого семейства, проведенной из точки О1 (рис. 7.1). [c.203] Полагаем, что т у) — непрерывно дифференцируемая функция при г 0 т у) О при г 0 г(0) = 0. [c.204] Будем рассматривать класс течений, годограф которых в окрестности точки 0 однолистен (рис. 7.1), т. е. область определения решения в сверхзвуковой части заключена на одном листе между характеристикой О1О2 и положительной осью V. Тогда получим, что угол наклона характеристики в физической плоскости является монотонной функцией длины ее дуги. [c.204] Будем обозначать точки в физической плоскости и в плоскости (рф большими буквами, а их образы в плоскости годографа — малыми. [c.204] Покажем, что если звуковая линия в точке О является гладкой кривой с монотонно поворачивающейся вдоль дуги касательной, то она в этой точке ортогональна вектору скорости в звуковой точке при начале разгона) и обращена выпуклостью в сторону области дозвуковых скоростей. [c.204] Заметим, что доказательство этого свойства, данное в [90, с. 615 справедливо только в предположении непрерывности производных в точке 0 плоскости годографа. [c.204] Звуковая линия в угловой точке не может составлять острый угол с осью if, так как при этом касательная к звуковой линии совпадала бы с одной из прямых узла характеристик в точке О, соответствующей скорости i О (рис. 7.2). Это невозможно, так как разгон потока в точке О начинается от звуковой скорости. [c.205] Предположим теперь, что звуковая линия составляет в точке О тупой угол с осью Lp, либо, в случае прямого угла, обращена выпуклостью в сторону сверхзвуковой области (рис. 7.3). [c.205] Проведем характеристику второго семейства из точки А звуковой линии. Принимается, что изображением угловой точки в плоскости годографа является характеристика первого семейства, следовательно, узел в точке О состоит из характеристик второго семейства. [c.205] Из закона монотонности вектора скорости на звуковой линии (см. гл. 1, 11) следует, что va (рис. 7.1). Учитывая однолистность области определения решения в плоскости годографа, получим, что характеристика второго семейства аЬ заканчивается на характеристике первого семейства О1О2. Отсюда следует, что в физической плоскости точка В совпадает с угловой точкой. [c.205] Так как характеристика АВ — второго семейства, она может войти в точку О только со стороны второго или четвертого квадрантов плоскости (рф (рис. 7.3). [c.205] По предположению, точка А находится в третьем квадранте точки О. Нетрудно установить, что в достаточно малой окрестности точки А характеристика АВ находится в ее четвертом квадранте. Поэтому если характеристика входит в точку О из второго квадранта точки О, то на ней должно быть нечетное число точек возврата, а если из четвертого — то четное. [c.205] Условие однолистности годографа в окрестности точки О является существенным, так как можно представить течение (рис. 7.4) с двулистным годографом (линия ветвления — характеристика 0(7), со звуковой линией, обращенной выпуклостью в сторону области сверхзвуковых скоростей. [c.206] Требования гладкости и выпуклости звуковой линии в точке О не являются существенными. Если звуковая линия не обладает этими свойствами, то аналогично предыдущему доказывается следующее отрезок звуковой линии расположен в четвертом квадранте точки О на плоскости пересечение этого квадранта с областью дозвуковых скоростей не содержит отрезка линии (р = —кф при к О (рис. 7.5). [c.206] Вернуться к основной статье