ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Разрушение непрерывного течения в сверхзвуковой зоне при спрямлении профиля из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " После работы [70] проблема корректности обтекания профиля рассматривалось Ф.И. Франклем [104, с. 385]. Им было высказано соображение ( аргумент Франкля ), основанное на представлении о единственности решения некоторой краевой задачи, аналогичной изученной ранее задаче Франкля для уравнения Трикоми, что было позже доказано К. Мора-вец [19, 150]. [c.172] В силу этой аналогии решение в области Е определяется граничным условием на контуре тела единственным образом. Затем его можно непрерывно продолжить в треугольник АВС путем решения задачи Гурса (с данными на характеристиках). Ясно, что в общем случае при этом возникнет противоречие с условием непротекания на контуре АВ. [c.172] В качестве треугольника АВС может быть взят любой характеристический треугольник с вершиной на звуковой линии. В работах [150, 151 было доказано [19], что если профиль на дуге АВ изменен сколь угодно мало (и гладко), то непрерывное течение с тем же числом М о вокруг нового профиля невозможно (этот результат сильнее приведенной в 3 теоремы [70]). Тем самым аргументу Франкля был придан строгий смысл. [c.172] Общепринятая трактовка этого факта, так же как и [70] состоит в том, что сколь угодно малая вариация контура профиля в местной сверхзвуковой зоне с непрерывным полем скоростей (если в качестве исходного взято именно такое течение) приводит к образованию скачков уплотнения. Такая интерпретация не противоречит гипотезе о корректности прямой задачи в классе обобщенных решений (со скачками уплотнения, удовлетворяющими условиям Гюгонио). [c.172] В [70] (см. 16, гл. 1) было доказано, что сверхзвуковая зона в потенциальном течении не может содержать в качестве подобласти течение Прандтля-Майера, поэтому если существует потенциальное сверхкритическое обтекание, то существует риманова поверхность отображения этой зоны в плоскость годографа (отображение на эту поверхность — гомеоморфизм). [c.173] Ниже будет показано, что эта риманова поверхность однолистна. Поэтому образ сверхзвуковой зоны в плоскости годографа содержит образ треугольника DE, ограниченного характеристиками СЕ и D (первого и второго семейства) и отрезком DE звуковой линии (рис. 6.2 а). Это значит, что образ контура профиля в окрестности каждой своей точки, кроме этой точки, лежит в плоскости годографа вне замкнутой жордановой кривой, ограниченной эпициклоидами D и СЕ и отрезком DE прямой Л = 1 (рис. 6.2 б), и, следовательно, не может содержать никакого отрезка оси /3 = onst. Это означает, что местная сверхзвуковая зона в потенциальном течении не может быть ограничена контуром, содержащим прямолинейный участок. [c.173] Рассмотрим прямую задачу сверхкритического потенциального обтекания заданного профиля безграничным дозвуковым потоком в следующей формулировке. [c.173] Здесь п — нормаль к контуру профиля — непрерывная функция длины дуги контура профиля. [c.173] Из установленной выше необходимой геометрической оценки следует, что сформулированная задача некорректна. Действительно, если ее решение существует, то оно не зависит непрерывно от граничного условия на профиле, так как любое малое сколь угодно гладкое спрямление профиля на границе сверхзвуковой зоны приводит к нарушению геометрической оценки, выражающей необходимое условие существования решения в заданном классе. [c.173] Таким образом, сверхкритическое обтекание кардинально отличается от докритического, поскольку для последнего сформулированная задача корректна. Не исключено, что отмеченная некорректность указанной постановки задачи сверхкритического потенциального обтекания может исчезнуть при следующих видоизменениях постановки. [c.174] Хотя поле V в этой постановке продолжает считаться потенциальным, приведенное выше доказательство отсутствия непрерывной зависимости от граничных условий становится неправомерным, потому что если условие существования решения выражается требованием строгой отрицательности к, то для каждого строго выпуклого профиля деформация, спрямляющая участок контура, уже не может быть выбрана сколь угодно малой. [c.174] Некоторое обоснование корректности такой суженной постановки состоит в аналогии рассмотренной задачи с прямой задачей сопла Лаваля (в вариациях), для которой доказана корректность [54 . [c.174] При численном решении задачи различие между этими постановками реализуется ввиду некорректности процедуры численного дифференцирования. [c.174] Вернемся теперь к доказательству однолистности римановой поверхности отображения сверхзвуковой зоны в плоскость годографа О. [c.174] О в доказательстве [70] не проанализирована возможность существования точки на звуковой линии. [c.174] Вернуться к основной статье