ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрические свойства годографа дозвукового обтекания несущего профиля Постановка задачи профилирования несущего крыла в идеальном газе методом годографа из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Представлением (28) определяются геометрические свойства образа Е[С) области течения в плоскости годографа. Функция (х) зависит от профиля, но если считать ее известной, образ контура профиля — границы С — представляет собой замкнутую кривую на римановой поверхности функции /(х)- Так как течение дозвуковое, эта кривая является границей ограниченной области Е С). [c.156] Если точка ветвления римановой поверхности лежит внутри С, то в силу регулярности /(х), риманова поверхность в окрестности этой точки имеет конечное число листов. Конечное число листов будет и в окрестности точки ветвления, принадлежащей границе С, т. е. контуру профиля, если он задан аналитической кривой, благодаря чему поле скоростей допускает аналитическое продолжение через границу. [c.156] Безотрывное равномерно дозвуковое обтекание профиля топологически эквивалентно обтеканию круга несжимаемой жидкостью [19]. Это означает, что линия тока ф = О разветвляется на профиле в двух критических точках О2, одна из которых (будем называть ее задней ) в соответствии с условием Жуковского-Чаплыгина, является острой кромкой крыла. [c.156] Критические точки естественным образом разбивают контур крыла на верхнюю и нижнюю стороны. [c.156] Таким образом, при а / О точка г = О изображает обе критические точки, каждая из которых лежит на простом листе римановой поверхности. При этом в передней критической точке 0 граница области F[G) — гладкая кривая, а в точке О2 имеется излом с углом между касательными к кривой тг — OL (т. е. внутренним углом а). [c.157] Пример однолистного годографа дает обтекание профиля с прямолинейной нижней стороной, когда циркуляция скорости настолько велика, что точка 0 находится на прямолинейном участке (рис. 5.2). Образом нижней стороны крыла является разрез О ВО , где В — точка ветвления римановой поверхности. [c.158] Однолистным также будет годограф профиля, обтекаемого так, что нижняя сторона его вогнута, а верхняя — выпукла (рис. 5.3). Ясно, что это свойство для фиксированного профиля может быть реализовано лишь на дискретном множестве векторов скорости набегающего потока. [c.158] Отметим, что если прямая задача обтекания профиля корректна, то при непрерывной деформации профилей, представленных на рис. 5.1-5.3, переводящей их друг в друга, их годографы также непрерывно деформируются друг в друга. При а = О скорость в точке может быть отлична от нуля в этом случае годограф также может быть однолистным. [c.158] Из теоремы о вращении поля касательных на гладкой замкнутой кривой [51] следует, что приращение аргумента касательной при обходе контура профиля с острой кромкой (с внутренним углом а) составляет величину тг + а. Поэтому в случае, изображенном на рис. 5.1, приращение аргумента вектора скорости на каждой стороне профиля не превосходит тг + + а (для рис. 5.2 — на верхней стороне). В случае, изображенном на рис. 5.3 (выпукло-вогнутый профиль) величина тг + а представляет собой разность приращений аргумента вектора скорости на выпуклой и вогнутой сторонах профиля (приращения отсчитываются от одной и той же точки О). [c.158] Нетрудно доказать следующее топологическое свойство если на гладком замкнутом само-пересекающемся контуре угловая функция касательной монотонная (контур выпуклый ), то вращение поля касательных при полном обходе контура больше единицы. Отсюда следует, что приращение аргумента касательной при обходе с амопере с екающего ся выпуклого контура с острой кромкой (с внутренним углом а) составляет величину тг + а + 2тг г, где п — целое положительное число. [c.159] Поэтому если существует решение задачи профилирования выпуклого крыла (рис. 5.1, 5.2), удовлетворяющее свойствам 1, 2, то оно удовлетворяет и свойству 3. [c.159] Физическая реализуемость решения задачи профилирования в области, изображенной на рис. 5.3, 5.4, не поддается столь простому анализу. [c.159] Представления (29) имеют место для каждой критической точки на соответствующем простом листе. Множества коэффициентов для точек О1, О2 не совпадают, поэтому условия (30) для этих точек независимы. [c.160] В формуле (29) г — переменная Чаплыгина, для О1, = се для О2. [c.160] Отметим, что из условий (30) и разложения (29) следует, что касательная к подходящей к контуру линии тока ф = О (если в критической точке скорость обращается в нуль) является биссектрисой внешнего угла к контуру. [c.160] Так как кроме точек 0 и О2 на контуре не должно быть других точек разветвления линии ф = 0, решения уравнения Чаплыгина не удовлетворяющие условиям (30), физически нереализуемы. [c.160] Если в (30) б1 = О, интеграл для вычисления г сходится, если же б1 О, то имеет логарифмическую особенность. [c.160] Если контур крыла в задней кромке имеет точку возврата (а = О) и в этой точке W ф О, то решение ф должно быть подчинено только одному условию (30) в передней критической точке при этом, однако, годограф должен быть однолистным в точке г = О (рис. 5.6). [c.161] Вернуться к основной статье