ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Профилирование несущего выпуклого крыла в несжимаемой жидкости по заданному годографу из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " В 6 обсуждается еще одна специфическая особенность метода Лайтхилла, проявляющаяся при построении несущих профилей. Она состоит в том, что и профиль-прототип, и преобразованный профиль должны иметь в задней кромке точку возврата, такую, чтобы скорость потока в задней кромке была ненулевой. [c.143] В связи с тем, что критическое число Маха зависит от формы профиля, большое практическое значение имеет задача профилирования несущего крыла, при обтекании которого потоком заданной дозвуковой скорости Моо нигде на профиле не образуется сверхзвуковых зон. [c.143] Разные подходы к этой задаче определяются видом задаваемой на профилируемом крыле информации. В конце 40-х годов Г. Г. Тумашевым и М. Т. Нужиным была развита постановка задачи профилирования крыла, в которой задавалось распределение скорости как функция длины дуги профиля. Полное решение этой задачи для несжимаемой жидкости, приведенное в монографии [97], состоит вкратце в следующем. [c.143] Построенная аналитическая функция в общем случае, однако, будет многозначной. Приравнивание нулю ее вычета относительно бесконечно удаленной точки приводит к двум условиям разрешимости, которым должно удовлетворять выбранное распределение скорости, чтобы искомый контур оказался замкнутым. Кроме того требование отсутствия самопересечений контура накладывает дополнительные ограничения на характер распределения скорости [97]. [c.144] Таким образом, разрешимость задачи профилирования крыла в постановке [97] зависит от выполнения двух (а в случае, если задана и скорость набегающего потока—то трех) условий разрешимости. Это обстоятельство сильно ограничивает возможности применения указанной постановки, так как добиться выполнения условий разрешимости можно лишь подбором исходного распределения скорости. [c.144] Тонкий вопрос об отсутствии точек самопересечения профиля должен исследоваться дополнительно. Достаточные признаки однолистности могут оказаться чрезмерно сильными. [c.145] Циркуляция скорости при этом не изменится. [c.146] Конечно, изложенное следует рассматривать лишь как схему. [c.146] Ранее задача профилирования крыла рассматривалась как обратная задача теории аналитических функций. Недостатком этой постановки была необходимость удовлетворения трех условий разрешимости. Кроме того, получающееся решение могло оказаться неоднолистным в физической плоскости. [c.146] Рассматриваемая ниже постановка [129] основана на методе годографа. Ее отличие от подхода в работе [97] состоит в том, что задается зависимость F w, a.тgw) = О, а зависимость г (5) подлежит определению. (На профиле, как это принято и в работе [97], имеет место условие непротекания.) Разрешимость задачи обеспечивается двулистностью области в плоскости У] ввиду наличия двух свободных параметров — координат точки ветвления. Однолистность в физической плоскости обеспечивается геометрическими свойствами границы области. [c.146] О Монография была сильно раскритикована в [1]. [c.146] Впервые вопрос о профилировании крыла по заданному годографу был поставлен в работе [158]. Впоследствии было установлено, что замкнутость контура обеспечивается асимптотическим условием при li Woo [89]. В то же время были отмечены трудности решения задачи в общей постановке, связанные с условиями в критических точках. В [89] был также построен класс профилей подбором зависимости w от вспомогательного переменного, однако это не имело прямого отношения к исходному методу. В дальнейшем задача профилирования развивалась в направлении, описанном в работе [97 . [c.147] Как известно, существует единственное решение Ф( ) для комплексного потенциала безотрывного обтекания профиля несжимаемой жидкостью с заданной скоростью на бесконечности, удовлетворяющее условию Жуковского-Чаплыгина. Аналитическая во внешности профиля G функция w z) = d /dz осуществляет отображение на многолистную, в общем случае, область D. Ввиду гладкости профиля (кроме задней кромки, в которой, по условию Жуковского-Чаплыгина w оо, область D ограничена. Проекция ее границы L на плоскость W, выражающая зависимость F w, a.Tgw) = О, является замкнутой кривой с точками самопересечения или самоприкосновения, так как на профиле существуют две критические точки 01,2, в которых W = 0. В исключительном случае они могут совпадать, однако это, как и случай Г = О (Г — циркуляция), не будет приниматься во внимание. [c.147] При обходе профиля от кромки по часовой стрелке аргумент г касательной к профилю, монотонно убывая, получает приращение — (тг + а), где а — внутренний угол в острой кромке О2 (О а тг). [c.147] Критические точки разбивают контур профиля на два участка, на каждом из которых скорость направлена от Oi к О2, поэтому на верхнем участке arg li = г, а на нижнем arg w = г — тг. (Выбор непрерывной ветви arg w = = г — тг определяется асимптотикой w z — z(Oi) при z z Oi), из которой следует, что arg w = — Imlni = — arg(z — z(Oi)) + onst.) Итак, при обходе строго выпуклого профиля по часовой стрелке arg w монотонно убывает, получая в точках 01 2 приращения тг, а при этом приращение arg W на каждом участке меньше 2тг. [c.147] Образ каждого участка в плоскости w, дополненный точкой г = О, — замкнутая жорданова кривая 1(2), L = Li U L2. Ее внутренность — область i i(2) — является простым листом римановой поверхности D. Действительно, обходу профиля в плоскости z по часовой стрелке соответствует обход 1(2) в направлении возрастания aigw, т.е. против часовой стрелки, в связи с одинаковой ориентацией областей в плоскостях z и w, DiU D2 С D. Дополнение Di U D2 на плоскости W не содержит точек D, так как D ограничена. Поэтому D = Di U D2. Так как D — область, то D = DiU D2 ф 0. Таким образом, D двулистна и, следовательно, имеет по крайней мере одну точку ветвления. Докажем, что она одна и лежит внутри D. [c.147] Заметим, что Ь представляет собой замкнутую кривую, полученную попарным перекрестным склеиванием кривых 1/1,2, разрезанных в точке г( = 0. Переход с 1/1 на 1/2 и наоборот соответствует переходу через либо О2. Поэтому в точке уо 01), где аргумент скачком изменяется на тг, I/ — гладкая кривая, а в точке гп 01) имеет излом с внутренним углом а (измеренным по области В). [c.148] Контур I/ при ио ф О, вообще говоря, не является гладким. Однако он будет таким, если ограничиться классом профилей с непрерывной кривизной, отличной от нуля. Действительно, кривизна и п. ио /(18 пропорциональны компонентам производной влВ г, непрерывной на профиле, а их отношение выражает угол наклона касательной к Ь. [c.148] Чтобы вычислить правую часть этого равенства, положим г = = ехр(гг) 8, (ЙВ = ехр(гсг) 3, где сг 3) — аргумент касательной к Ь, 3 з) —длина дуги Ь. [c.148] приходим к следующей формулировке задачи профилирования. Пусть на одном из листов области В, имеющей строение, описанное в п. 1, задана точка Woo = W oo). Найти точку ветвления Wo Wo ф г оо). [c.149] Вернуться к основной статье