ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Алгоритм численного решения. Выделение особенностей. Вычисление координат. Течение в сверхзвуковой области из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Перейдем к рассмотрению прямой задачи сопла Лаваля — задачи об определении поля течения в канале заданной формы, обладающего свойством, что в нем происходит переход через скорость звука от дозвуковой скорости на входе в сопло к сверхзвуковой на выходе. Это может быть осуществлено только при условии, что между входным и выходным сечениями канала поддерживается достаточно большой, сверхкритический перепад давления. Если же, наоборот, перепад давлений достаточно мал, то в канале существует равномерно дозвуковое течение. [c.108] Действительно, как указано [19], задача о равномерно дозвуковом течении газа в бесконечно длинном канале с граничными условиями ф с1 = = О, ф с2 = где фо — достаточно малая постоянная, а i, 2 обозначают стенки канала, имеет единственное решение, определяемое расходом газа фо, который определяет скорость потока в сечении, где поток выравнивается (на входе или на выходе). [c.108] В свою очередь, скорость газа в этом сечении однозначно определяется перепадом давлений р2 /р на концах канала, если площади их поперечных сечений неодинаковы. Обозначим индексом 2 выходное сечение. Пусть задано / = F2/F1 / 1, = p2 P 1, найдем Ai, Л2. [c.108] Ограничение достаточной малости расхода обусловлено условием отсутствия сверхзвуковых зон, поэтому эти формулы применимы для вычисления точных значений скорости на концах канала лишь при достаточно малых скоростях. [c.109] При дозвуковых скоростях потока расход газа через канал — монотонная функция скорости. Поэтому из (7) следует, что указанный режим реализуется при перепадах давления, достаточно близких к единице. Итак, для каждого заданного канала (при f ф 1) существует такой критический перепад давлений, что при д 1 в канале существует равномерно дозвуковое течение, единственным образом определяемое этим перепадом. [c.109] Подчеркнем, что параметры фо, д вряд ли представляют собой взаимно однозначные характеристики множества течений в канале. Тем более неправомерно связывать их с процессом запуска сопла, даже в квазистационарной постановке. [c.109] Однако, прежде чем переходить к исследованию проблемы Ф. И. Франкля, уточним, что имеется в виду под прямой задачей, а именно, в каком классе следует искать ее решение. [c.110] Ограничимся случаем бесконечного (точнее, полубесконечного) канала с параллельными стенками на входе. Будем рассматривать симметричный канал, так что одна стенка канала представляет собой ось симметрии — ось у = 0. [c.110] Под классическим решением прямой задачи сопла будем понимать регулярное решение системы уравнений плоских потенциальных течений идеального газа, определенное внутри канала, непрерывное в замкнутой области определения и удовлетворяющее условиям непротекания на стенках i 2 канала i 2 — 1,2(5), где B s) —угол наклона стенки канала, условию выравнивания потока во входном сечении /5 О, Л Ао, X —оо и условию л 1, X = Хо (постоянные Ао, хо заранее не заданы). [c.110] Из разрешимости задачи профилирования (см. 7) следует существование каналов, для которых прямая задача в классической постановке разрешима. [c.110] Однако можно утверждать, что если для некоторого канала существует классическое решение с криволинейной звуковой линией, то, вообще говоря, это решение не обладает свойством непрерывной зависимости от граничных условий существует класс сколь угодно малых деформаций контура, для которых классическое решение уже не существует. [c.110] Доказательство следует из теоремы A.A. Никольского-Г.И. Таганова (см. гл. 6, 3), которая гласит, что сколь угодно малое [и сколь угодно гладкое) спрямление контура тела в сверхзвуковой подобласти М-области приводит либо к разрушению непрерывного сверхзвукового течения в этой подобласти, либо нарушает непрерывную зависимость решения от граничных условий. [c.110] Иными словами либо малое возмущение сильно перестраивает М-область (вплоть до несуществования решения), либо возникает скачок уплотнения, интенсивность и протяженность которого стремятся к нулю вместе с порождающим его возмущением. [c.110] В общем, ситуация полностью идентична течению в сверхзвуковой зоне около профиля при дозвуковом обтекании (см. гл. 6, 3). Из этого, однако, следует, что прямая задача в классической постановке, вообще говоря не разрешима. Очевидно, задача становится более разрешимой при переходе в класс обобщенных решений, описывающих течения с конечным числом кусочно гладких поверхностей разрыва первого рода — скачков уплотнения (с условиями Гюгонио на них). [c.110] Остановимся на вопросе единственности решения прямой задачи в классической постановке. Этот вопрос важен, поскольку хорошие сопла реализуют именно классические решения. [c.111] Аналитические исследования проводились Ф.И. Франклем [104] при малых изменениях решения относительно исходного — задача формулировалась в плоскости годографа для линейного уравнения в вариациях. Строгие доказательства теоремы единственности в малом были получены в [61, 74]. [c.111] В связи с тем, что в плоскости годографа область определения решения содержала отрезок линии вырождения, доказательство соответствовало случаю, когда в качестве основного выбиралось решение с криволинейной звуковой линией в физической плоскости. [c.111] Ниже для двух классов течений (один из них содержит сопла с прямой звуковой линией) приводится доказательство единственности решения в целом , без предположения об инфинитезимальной близости возможных решений. При этом, как и в [61, 74], используется упрощение уравнений движения для околозвуковых скоростей потока. [c.111] В зависимости от протяженности канала можно говорить о сопле Лаваля бесконечной или конечной длины. [c.111] Если решение существует, то D содержит минимальную область влияния смешанного до- и сверхзвукового течения, но не совпадает с ней, за исключением случая прямой звуковой линии (М-область состоит из области эллиптичности и прилегающих областей гиперболичности, покрываемых характеристиками обоих семейств, выпущенными из линий вырождения). [c.112] Вернуться к основной статье