ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дозвуковая часть бесконечного сопла с прямой звуковой линией. Разрешимость задачи профилирования методом годографа из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Другой способ состоит в профилировании сопла конечной длины с условием выравнивания модуля скорости потока во входном сечении — в предположении, что это граничное условие может быть относительно точно реализовано технически. [c.87] Рассмотрим сначала случай прямой звуковой линии (рис. 3.7 в). В плоскости годографа скорости область АВК показана на рис. 3.8 (эпициклоида А1А2 — образ угловой точки, эпициклоида А2В —образ последней характеристики узла разрежения, КВ —образ оси симметрии). [c.87] Это решение определено на одном листе плоскости годографа. Оно не имеет предельных линий и может быть реализовано физически по-видимому, это останется в силе и для соответствующего решения уравнения Чаплыгина. Таким образом, можно утверждать, что при передвижении по характеристике АВ от точки А к точке В скорость монотонно возрастает (в связи с однолистностью решения в плоскости годографа). Профилирование контура АС методом простой волны дает кривую без самопересечений, так как прямые характеристики первого семейства в области АВС расходятся. Это доказывает отсутствие скачков уплотнения в области АВС и монотонность разгона потока в направлении от А к С. [c.88] Кроме того, в соплах по схеме рис. 3.7 б в области АВС будет происходить пересечение прямолинейных характеристик первого семейства, по крайней мере при значениях скорости на выходе из сопла, близких к скорости звука. Собственно говоря, это означает несуществование течения типа простой волны в области АВС, т.е. невозможность спрофилировать контур АС, исходя из условия равномерности потока на характеристике ВС. [c.89] Для доказательства рассмотрим случай = 1. Построим на рис. 3.10 минимальную область влияния смешанного течения с угловой точкой и криволинейной звуковой линией, ограниченную предельной характеристикой АК. Задача состоит в построении контура АС, обеспечивающего равномерный звуковой поток на вертикальной прямой КС. [c.89] Предположим, что искомое решение типа простой волны в треугольнике АКС существует. В плоскости годографа оно изображается характеристикой А2К(рис. 3.9), поэтому контур сопла АС лежит выше прямой АЕ с отрицательным углом наклона к оси симметрии касательной к контуру в точке А на выходе из угловой точки (рис. 3.10). Выберем точку Р на вертикальной прямой КС так, чтобы длина отрезка РК не превосходила половины отрезка КЕ. Проведем прямую QP параллельно оси симметрии. Будем считать, что точка Р взята настолько близко к К что на отрезке характеристики QK направление выпуклости не меняется. Такой отрезок QK существует в силу монотонности скорости на характеристике О К вблизи К (рис. 3.9) и в связи с тем, что на ней 5 = 0 — 1) / при Л 1. [c.89] Всюду на характеристике АК 3 О, т. е. вектор скорости в точке Q лежит под прямой QP. Построим зеркальное отражение QS отрезка характеристики QK с касательной QR к кривой QS в точке Q. Ясно, что прямолинейная характеристика первого семейства QT лежит ниже прямой QR которая расположена ниже кривой QS в силу ее выпуклости. По построению, точка S ниже Е поэтому характеристика QT пересекает характеристику КС внутри области течения, что и требовалось доказать. [c.89] Решение типа простой волны непрерывно зависит в области АВС от значения скорости в точке В. Поэтому, раз пересечение характеристик (точка Т) при Лб = 1 происходит внутри области течения, это также будет справедливо и в некотором промежутке 1, пока точка Т не пересечет контур сопла. [c.89] Доказательство существования скачка уплотнения при трансзвуковом обтекании выпуклого угла (см. гл. 9, 8), выходящего из угловой точки, в данном случае неприменимо, так как в нем течение за предельной характеристикой предполагалось невырожденным (т.е не являющимся простой волной). [c.89] Проведенный анализ показывает, что сопла с угловой точкой, выполненные по схеме с прямой звуковой линией, наиболее предпочтительны. Профилирование дозвуковой части сопла может быть выполнено методом 1 или 7 гл. 4, что обеспечивает монотонность скорости на стенке на всем ее протяжении. [c.90] С целью формулировки задачи профилирования сопла вспомним (см. 1), какими геометрическими свойствами в плоскости годографа обладает область определения решения, описывающего дозвуковое течение в сопле Лаваля с прямой звуковой линией. [c.90] Если принять дополнительное предположение о симметрии сопла относительно горизонтальной оси (оно не обязательно, но, как правило, обусловлено техническими соображениями), то выбирая в качестве одной из стенок ось симметрии (3 = 0, получим, что граница дС области определения С представляет собой замкнутую жорданову кривую, состоящую из двух дуг — отрезка оси 13 = О, Л Е [Л, 1] (кривая о) и кривой Ьх с концами в точках Л1, /5 = 0 Л = Л, (3 = О, во внутренних точках которой (3 О (рис. 3.11). [c.90] Если стенка сопла бесконечной длины наклонена к оси симметрии на бесконечности под некоторым углом (Зо, то скорость на входе равна нулю и граница области определения отличается тем, что она еще содержит отрезок оси Л = О, Р е на котором ф = 3/13о (рис. 3.12). [c.90] Дозвуковая часть сопла с прямой звуковой линией, но не монотонным распределением скорости вдоль стенки (без сверхзвуковых включений) имеет вид, изображенный на рис. 3.14 граница области дС на многолистной в общем случае римановой поверхности проецируется на плоскость годографа в виде замкнутой самопересекающейся кривой. В отличие от случая сопла с монотонным распределением скорости вдоль стенки, распределение скорости вдоль оси симметрии может оказаться немонотонным. [c.91] Рассмотрим подробно задачу о течении в бесконечном сопле с параллельными стенками на входе. В силу вышесказанного, в области С получаем обобщенную задачу Дирихле для функции тока с разрывным (кусочно постоянным) граничным условием. В плоскости годографа ф удовлетворяет в точной постановке уравнению Чаплыгина, а в приближенной постановке, часто применяемой для выявления главных качественных особенностей трансзвукового характера — уравнению Трикоми. [c.91] Обобщенность сформулированной задачи связана с наличием разрыва граничной функции в двух точках, одна из которых находится в области равномерной эллиптичности, а другая — на линии вырождения (на звуковой линии). Под решением обобщенной задачи Дирихле будем понимать, следуя [56,96], регулярное внутри области определения решение дифференциального уравнения, ограниченное в замкнутой области и принимающее заданные граничные значения во всех точках непрерывности граничной функции (с конечным числом точек разрыва). [c.91] Затем рассматривается последовательность решений задач Дирихле, определенных в подобластях Сь С О, полученных из С отсечением окрестности линии вырождения 1 — Л /г и /г-окрестности точки разрыва в области эллиптичности граничное значение для фн определяется значением на дСь функции /(Л,/5). [c.92] Последовательность решений фн равномерно ограничена (в силу принципа максимума) и равностепенно непрерывна при /г /го в каждой подобласти Сьо последнее следует из интегрального представления фь с помощью функции Грина в Сьо- Поэтому в силу теоремы Арцела последовательность фн при /г О сходится к непрерывной функции (всюду кроме отрезка линии вырождения и точки разрыва в области эллиптичности), ограниченной в замкнутой С, которая, в силу интегрального представления, дважды непрерывно дифференцируема в С, следовательно, является регулярным решением дифференциального уравнения, принимающим заданные граничные значения всюду, кроме точек разрыва граничной функции и отрезка линии вырождения. Если граница области содержит этот отрезок (как, например, показано на рис. 3.13), то непрерывность ф в точках непрерывности ф дс на этом отрезке доказывается, как и в [92], с помощью барьера (который существует в точках звуковой линии как для уравнения Чаплыгина, так и для уравнения Трикоми — и вообще для всех линейных эллиптических уравнений трикомиевского типа вырождения (1.32)). [c.92] Вопрос о единственности решения сформулированной задачи представляется более сложным. [c.92] Дадим доказательство единственности решения обобщенной задачи Дирихле для случая уравнения Трикоми. [c.92] Вернуться к основной статье