ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Потенциальные течения со степенными особенностями в окрестности центра сопла из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Отметим, что для вывода уравнений Кармана-Фальковича нет необходимости в явном использовании разложений по параметру что предполагает игру масштабами аффинных преобразований Л — 1, /3, ф при 0. Действительно, достаточно лишь принять, что Л — 1 С 1. [c.56] Отличие системы (5) от (7) состоит в том, что использование (7) правомерно вблизи всей звуковой линии потенциального течения, а именно в области, где модуль скорости потока близок к скорости звука, а (5) правомерна лишь в окрестности точки пересечения со звуковой поверхностью некоторой линии тока, на которой вычисляются О ГГо, Wl и). [c.56] О Из формулы (1.6) следует, что в плоском потенциальном течении д ф)/д х у) = = 1 + 0(гб), поэтому с той же степенью неточности, что и (7), правомерна также система ипх — Уу = О, —Пу + г ж = 0. Именно она и была получена Т. Ф. Карманом и С. В. Фалько-вичем [98, 146]. [c.56] Поскольку полное давление в идеальном газе, в силу положительности плотности и температуры, положительно и выражается непрерывной ограниченной функцией, отображение ф гомеоморфно (при То 0). [c.57] Система (8) может быть сведена к уравнению второго порядка, причем разными способами. [c.57] Эти уравнения в трансзвуковой аэродинамике еще не исследовались. [c.57] Это решение описывает смешанное до- и сверхзвуковое течение в полосе ф 1, которая изображает канал конечной ширины. Отметим, что решение (9) не следует рассматривать при очень больших значениях (р так как при этом нарушается предположение о малости г . [c.58] Звуковая линия г = О является параболой (р = — А/2)ф область дозвуковых скоростей расположена слева от нее (рис. 2.3). [c.58] Множество точек, в которых = О, состоит из прямой ф = О (ось симметрии) и параболы (р = — А/6)ф это означает, что в физической плоскости сопло имеет вид сужающегося-расширяющегося канала, причем критическое сечение сопла (прямая, ортогональная оси симметрии, проведенная в наиболее узком месте канала) не совпадает со звуковой линией. Это означает, что решение (9) описывает класс течений в сопле Лаваля с криволинейной звуковой линией, причем в связи с тем, что параметр А А ф 0 А ф оо характеризует ускорение потока в центре сопла, решение (9) дает приближенное описание в окрестности центра сопла с конечным ускорением потока. [c.58] Это уравнение (точнее, более сложное уравнение, соответствующее вихревому течению) будет проинтегрировано во всей области определения в 6. Здесь мы укажем только интегральные кривые, проходящие через центр сопла. Отыскивая их в виде парабол (р = Вф получим из (10) квадратное уравнение для Б, которое дает Ех = —А/А, В2 = А/2. [c.58] Характеристическая парабола (р = А ф /2 является линией ветвления отображения в плоскость годографа. Это можно доказать, исходя лишь из того, что линия ветвления — характеристика. Впрочем, в данном простом случае это можно получить непосредственной проверкой. Трехлистная риманова поверхность отображения показана на рис. 1.13. [c.59] Решение (9) аналитично во всей области определения. Однако кроме него на базе формул (9) может быть построено кусочно аналитическое решение с разрывами производных вдоль характеристик, проходящих через точку Kj . Это решение имеет вид (9), но с разными постоянными Ai A2 вместо А в областях (р —А ф /А., (р Аф /2. Первая соответствует М-области, вторая — области определения решения задачи Коши с данными на оси симметрии ф = О при (р 0 и = А2(р v = О для вырождающейся в точке гиперболической системы (7). [c.59] Нетривиальность этой задачи связана с вырождением гиперболической системы в точке i +. [c.59] В связи с вопросом об автомодельных решениях уравнений Кармана-Фальковича отметим следующее обстоятельство. Образ в плоскости годографа скорости каждого такого автомодельного решения представляет собой решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка, общее решение которого выражается через гипергеометри-ческие функции. Система этих решений, дополненная формулами аналитического продолжения, приведенная в монографии [32], воспроизведена в 4. [c.60] Решение этой задачи описывает асимптотические типы течений с конечным, отличным от нуля ускорением в центре сопла. [c.60] Тогда класс решений будет включать и решения с ускорением потока, обращающимся в нуль или бесконечность. Все эти решения принадлежат классу решений уравнений (7) со степенными особенностями на звуковой линии. [c.60] Большинство известных точных решений уравнение (7) принадлежат этому классу. При его изучении оказались плодотворными два подхода, основанные на том, что как в физических переменных, так и в переменных годографа уравнения трансзвуковых течений имеют автомодельные решения. [c.60] Между автомодельными решениями в физической плоскости и в плоскости годографа существует соответствие, определяемое следующей формулой 6j n — 1) = 1. [c.63] Образование неоднолистности отображения типа складки (предельной линии) также не всегда легко может быть установлено аналитически, так как сводится к исследованию вопроса о существовании решений некоторого трансцендентного уравнения. [c.63] Вернуться к основной статье