ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые сведения из теории линейных уравнений смешанного типа из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Задачи, сформулированные для нелинейной системы (31), составляют предмет трансзвуковой аэродинамики в традиционном ее понимании — в узком смысле. [c.47] О в [5], где приведены таблица и график зависимости 6(77), указано неверное значение 6(0) = -1,1652. [c.47] Как следствие получим, что при равномерно дозвуковом обтекании профиля безграничным потоком максимальное и минимальное значения модуля скорости достигаются на контуре профиля. Используя теорему Жиро [65], получим, что дХ/дп О в точке, где Л = Лщах, поэтому из (4), (5) следует, что в этой точке профиль выпуклый (здесь п — нормаль к гладкому профилю, направленная внутрь области течения). [c.48] Утверждение следует из принципа максимума [65] для решения и (р,ф) е С С) П С1 С). Это свойство используется (см. гл. 3, 14) в следующей форме если и дс О, то О внутри С. [c.48] Математическая теория уравнений смешанного типа стала интенсивно развиваться после основополагающих исследований Трикоми. Фундаментальные результаты были получены Франклем, Геллерстедтом, Бабенко. Содержание теории составляет обоснование новых краевых задач в областях, являющихся объединениями подобластей эллиптичности и гиперболичности, установление их корректности в соответствующих классах функций, отыскание эффективных методов построения решений. К важным разделам теории следует отнести также исследования корректности классических задач для эллиптических и гиперболических уравнений, когда граница области содержит отрезки линии вырождения. [c.48] Современное состояние теории линейных уравнений смешанного типа и вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений представлено в монографиях [92, 93, 20]. Движение идеального газа описывается квазилинейными уравнениями смешанного типа. Использование теории линейных уравнений для изучения свойств трансзвуковых течений оправдано тем, что каждое решение нелинейного уравнения принадлежит множеству решений некоторого линейного уравнениями, значит, свойства трансзвуковых течений принадлежат совокупности свойств решений линейных уравнений. В связи с этим ряд теорем теории линейных уравнений может быть выражен в терминах аэрогазодинамики. Однако при такой интерпретации могут возникать трудности при формулировке условий реализации свойств, классифицируемых по типам линейных уравнений. Линейное уравнение Чаплыгина в плоскости годографа скорости и его упрощенный вариант — уравнение Трикоми — стали первыми и наиболее полно разработанными объектами теории. Следует все же отметить, что большинство полученных математических результатов имеют пока лишь ограниченное или косвенное приложение в трансзвуковой аэродинамике. Это связано с тем, что области определения считаются заданными и, следовательно, рассматриваемые задачи могут иметь отношение лишь к проблеме профилирования контура тела. В то же время одна из главных задач аэродинамики — прямая задача внешнего или внутреннего обтекания тела заданной формы, формулируемая в плоскости годографа как задача со свободной границей, остается мало обоснованной. [c.49] Отметим также, что вопросы физической реализуемости решений линейных краевых задач до сих пор не подвергались систематическому анализу, несмотря на то, что их можно трактовать как дополнительные условия разрешимости соответствующей нелинейной краевой задачи, поставленной в физической плоскости. [c.49] Приведем в эвристическом изложении основные понятия и результаты теории линейных уравнений смешанного типа, представляющие интерес с точки зрения задач трансзвуковой аэродинамики. [c.49] Тип канонической формы определяет структуру решений уравнения вблизи линии изменения типа уравнения, например, влияет на форму характеристик. Разрешимость краевых задач, как классических — в подобластях эллиптичности или гиперболичности, так и новых — для смешанных областей, также зависит от типа канонического уравнения, существенные признаки которого зависят от величин т и 6(0). [c.49] В связи с тем, что для этого уравнения ш = 1, 6(0) = 1, по теореме М. В. Келдыша решение задачи Дирихле в области, ограниченной отрезком линии вырождения = О (в которую переходит ось симметрии у = 0), не существует, а существует решение задачи, в которой условие для ф при = О заменено требованием ограниченности ф. Так и должно быть, потому что решение задачи Дирихле для трехмерного уравнения Лапласа в осесимметричной области существует и единственно, в силу осевой симметрии удовлетворяет при у = О условию дф/ду = О, а поэтому не может удовлетворять независимому условию для ф. [c.50] Следует иметь в виду, что для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения этот результат, вообще говоря, не справедлив. Так, система (31) имеет решение с прямой звуковой линией (г = О при г О при (р при этом ди/д(р = О при г = О (гл.2, 5). Парадокс раскрывается тем, что приведение системы (31) к каноническому виду (32) неизбежно связано с переходом в плоскость годографа, в которой указанное решение определено так, что прямая звуковая линия изображается точкой излома границы дозвуковой области, т. е. условие теоремы Жиро о гладкости границы не выполнено. [c.50] Вернуться к основной статье