ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Отображение границ области течения и их окрестностей из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Из выражения для J следует, что в точке пересечения с линией ветвления меняют знак производные от р,/3 по направлению той характеристики, образ которой в плоскости р/З имеет точку возврата. Исключительным является случай, когда якобиан J или I меняет знак скачком. В этом случае линия ветвления может быть только ударной волной или характеристикой, несущей разрыв первых производных скорости. Нетрудно установить, на основании общих свойств характеристик гиперболических уравнений, что разрыв якобиана пропорционален разрыву первой производной Л или 3. [c.37] Напомним (см. 9), что предельной линией называется край складки отображения плоскости годографа в физическую плоскость она может возникать, когда решение первоначально строится в плоскости годографа, а лишь затем находится его образ в плоскости течения. В силу нелинейности уравнений, предельная линия в общем случае не будет характеристикой она является огибающей характеристик одного семейства и множеством точек возврата характеристик другого семейства. Классический пример течения с предельными линиями дает решение Ринглеба [64]. Характеристика может быть предельной линией, если она несет разрыв первых производных поля скоростей. В принципе может возникнуть ситуация, когда характеристика является одновременно и линией ветвления и предельной линией в этом случае якобиан отображения при переходе через характеристику не изменяет знак, хотя область определения решения в плоскости годографа двулистна двулистным будет и отображение в физическую плоскость. Пример такого течения приводится в гл. 9 9. [c.37] При исследовании течения в плоскости годографа полезно знать характер отображения границ области течения. Граница области может состоять из отрезков линий тока — контуров тел и свободных поверхностей, ударных волн, характеристик. Самыми простыми являются случаи, когда образ границы в плоскости годографа состоит из заранее известных кривых — отрезков прямых (3 = onst (прямолинейная линия тока в физической плоскости), Л = onst (свободная граница), ударная поляра (ударная волна в равномерном сверхзвуковом потоке). Часто встречается случай, когда на граничной линии тока имеется точка излома. Если касательные к линии тока в этой точке составляют угол меньше тг (угол измеряется в области течения), то скорость в ней равна нулю, либо изменяется скачком (из угловой точки исходит скачок уплотнения). Если угол больше тг, обтекание угла будет сверхзвуковым или трансзвуковым. Аналогично случаю плоского потенциального течения [5] для вихревых течений доказывается следующее свойство. [c.37] Угловая точка, в окрестности которой течение непрерывно, и в которой скорость не равна нулю, изображается в плоскости годографа отрезком характеристики. [c.37] Если данная кривая — не характеристика, решение задачи Коши дает в окрестности угловой точки ф = что невозможно. [c.38] Перейдем теперь к исследованию отображений окрестностей участков границы. [c.38] О Образ угловой точки, принадлежащей границе области течения, принадлежит краю римановой поверхности в плоскости р(3. [c.38] Поэтому J О (J 0), / О (/ 0) при М О (М 0). Таким образом, прямолинейную линию тока в точке пересечения со звуковой линией пересекает нечетное число линий ветвления отображения в плоскость годографа по крайней мере одна). [c.39] При М ф 1 прямолинейную линию тока может пересекать только четное число линий ветвления (если М 1, линии ветвления могут возникать только в плоскости Л/3 — в случае вихревых течений). [c.39] Отсюда видно, что в отличие от предыдущего случая знак якобиана отображения может изменяться. [c.39] Головная ударная волна. Из соотношений на скачке уплотнения следует, что образ головной ударной волны, т. е. ударной волны в равномерном набегающем потоке, в плоскостях Л/3 и р/З располагается на заранее известных кривых — ударных полярах . [c.39] Таким образом, система для определения частных производных имеет правую часть, пропорциональную кривизне ударной волны. [c.40] Поэтому в точках ударной волны, где f k,a,Moo) = О и только в них) ударную волну пересекает нечетное число линий ветвления. [c.40] Численное решение трансцендентного уравнения / = О при 1,2 к 1,6 показало, что оно имеет единственный корень при каждом значении скорости набегающего потока. (В силу симметрии ударной поляры уравнение решалось в верхней полуплоскости.) Схематическое изображение кривой /(/с,сг, Mqo) = О на диаграмме ударных поляр при к = onst было дано на рис. 1.5. Данная кривая пересекает ударную поляру в звуковой точке при Мо = 1,6895 (к = 1,4). Связь этого свойства с общим видом минимальной области влияния при обтекании профиля будет указана в гл. 8. [c.40] Ударную волну в равномерном набегающем потоке пересекает нечетное число линий ветвления по крайней мере одна) в точке, где / к,а,М о) = = 0. Кривизна ударной волны в этой точке может и не равняться нулю. Если кривизна ударной волны обращается в нуль при /(/с, сг, Моо) / О, то ударную волну в такой точке пересекает четное число линий ветвления, или эта точка является изолированным нулем якобиана I. [c.40] Вернуться к основной статье