ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Отображения областей сверхзвукового течения в плоскости годографа скорости и давления из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " В строгой теории абстрактная риманова поверхность представляет собой двумерное ориентируемое многообразие (с краем или без него). При этом проекция римановой поверхности на плоскость (в нашем случае — плоскость годографа uv) представляет собой двумерное накрытие, при котором прообраз (при отображении /) некоторой окрестности U W) каждой точки W распадается на открытые подмножества, гомеоморфно отображающиеся посредством / на U. [c.28] Отображение сверхзвуковых, а также вихревых течений в плоскость uv или р/З обладает другими свойствами. [c.29] Прежде всего, могут быть случаи, когда римановой поверхности не существует. Такая ситуация возникает, если 9(i , v)/9(х, у) = О в некоторой области. Эта область может существовать в сверхзвуковом потенциальном течении и называется простой волной — течением Прандтля-Майера (см. 8). Ее образ в плоскости годографа uv — отрезок характеристики, поэтому отображение (х, у) (i , v) в окрестности этой характеристики не является двумерным накрытием, т. е. отображение не имеет римановой поверхности. [c.29] Другое характерное свойство отображений (х, у) (i , v) (потенциальное течение), (х,у) р ) (вихревое течение) состоит в том, что риманова поверхность не имеет в сверхзвуковой области изолированных точек разветвления (через каждую точку в физической плоскости и в плоскости годографа проходит по две характеристики), но может иметь линии ветвления — связные одномерные множества (на них якобиан отображения меняет знак). Если разрезать область течения вдоль этих линий и вырезать области течения Прандтля-Майера, то каждая подобласть будет обладать римановой поверхностью с краем в общепринятом смысле, состоящим из линий ветвления и границы области течения. Таким образом, риманову поверхность всей области течения можно представить в виде складчатой поверхности — объединения кусков римановых поверхностей с краем (ориентируемых), склеенных вдоль линий ветвления, которые образуют края складок (рис. 1.11)0. [c.29] Так как всякая ограниченная замкнутая область физической плоскости (двумерного евклидова пространства) является компактом, то из теоремы общей топологии следует, что отображение любой ограниченной замкнутой подобласти реально существующего течения, не содержащей скачков уплотнения, на риманову поверхность в плоскости годографа является гомеоморфизмом (т. е. обратное отображение также непрерывно). [c.30] Край складки в физической плоскости (и его прообраз в плоскости годографа) называется предельной линией. Наиболее типичны отображения, при которых образ однолистной поверхности двулистен, однако возможны ситуации (см. гл. 9, 8), когда образом края складки в плоскости годографа является край складки в физической плоскости. Якобиан отображения при этом не меняет знак. [c.30] Из сказанного следует, что при использовании метода годографа для построения решений как аналитическими, так и численными методами должно ставиться дополнительное условие физической реализуемости — однолистности решения в физической плоскости. [c.30] Использование принципа подобия псевдоаналитических функций. [c.30] Рассмотрим плоские потенциальные и вихревые течения. Введем плоскости годографа скорости Л/3 и давления р/З О. Направим ось /3 вертикально вверх, оси р — горизонтально вправо. [c.30] О Отображение в плоскость р(3 впервые исследовалось, по-видимому, Л. И. Седовым [88]. [c.30] Отображение в плоскость Л/3 будем рассматривать как для потенциальных так и для вихревых течений, отображение в плоскость р(3 — для вихревых течений. [c.31] Как известно, якобиан отображения представляет собой отношение площадей соответствующих ориентированных элементарных площадок знак якобиана положителен при совпадающих ориентациях и отрицателен при противоположных. Как следует из (18), в области дозвуковых скоростей всегда выполняется неравенство J О, а в случае потенциальных течений — неравенство / 0. При этом / и J могут обращаться в нуль только в изолированных точках решение задачи Коши с начальными данными dp/dsi = О, dp ds2 = О (или d /dsi = О, d /ds2 = 0) на линии J = = О (или / = О для потенциальных течений) дает тривиальный случай равномерного потока. Аналогичным образом при рассмотрении уравнений движения в плоскости годографа устанавливается изолированность точек дозвуковой области, где J = ос (/ = ос для потенциальных течений). [c.31] Уравнения (4), (5) при 7V = О, dp /d = О, М 1 и (8) при О М 1 являются равномерно эллиптическими однородными системами, в силу чего их решения реализуют квазиконформные отображения [19. [c.31] Представление (23) весьма полезно при решении краевых задач типа Римана-Гильберта-Привалова [26 . [c.33] Из неотрицательности J в области дозвуковых скоростей (при М 1) вытекает следующее правило обходу в физической плоскости границы области В дозвуковых скоростей, при котором В остается слева, соответствует обход в плоскости р/З образа границы В, при котором образ области также остается слева. [c.33] Для потенциальных дозвуковых течений имеет место аналогичное правило, отражающее, в отличие от предыдущего, факт противоположных ориентации областей. Это правило было сформулировано А. А. Никольским и Г. И. Тагановым в виде закона монотонности вектора скорости на звуковой линии [70] если перемещаться в физической плоскости по звуковой линии так, чтобы область дозвуковых скоростей оставалась слева, то вектор скорости поворачивается по часовой стрелке (рис. 1.12). [c.33] Отображения вихревых и потенциальных течений в плоскость Л/3 качественно отличаются тем, что в области дозвуковых скоростей могут образовываться складки (для вихревых течений). Они могут продолжаться как складки и в область сверхзвуковых скоростей. Что касается изолированных особенностей, то они аналогичны особенностям отображения потенциальных течений. [c.33] Для получения свойств отображений области сверхзвуковых скоростей целесообразно изучить поведение характеристик в плоскостях годографа. [c.33] Последнее обстоятельство не случайно в потенциальных течениях линия ветвления отображения в плоскости годографа всегда является характеристикой. Простое геометрическое доказательство этого факта состоит в следующем. [c.34] Вернуться к основной статье