ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ударные волны. Соотношения Гюгонио. Ударная поляра. Асимптотика семейства ударных поляр при Аоо из "Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа " Преобразуем уравнения Эйлера, используя газодинамические функции и представление V = У п1 = ЛасгП1, где П1 — единичный вектор скорости. [c.14] Напомним некоторые понятия дифференциальной геометрии. [c.14] Заметим сначала, что в силу инвариантности уравнений Эйлера относительно замены V о —V, направление вектора скорости на линии тока несущественно. Однако в силу принятого предположения о непрерывности поля скорости, поле П1 также непрерывно (за исключением точек V = = О, где оно не определено), поэтому произвольность в задании поля П1 устраняется заданием направления вектора скорости в одной точке области течения, например, на бесконечности. [c.14] Будем рассматривать линии тока как непрерывное семейство пространственных кривых, согласованно параметризованных длиной дуги 5, отсчитываемой вдоль каждой линии тока, что соответствует заданию линии тока уравнением г = г(5). В силу непрерывности поля скорости линия тока всюду, кроме особых точек, — гладкая кривая, поэтому для нее определено понятие длины дуги. [c.15] Сопоставим каждой линии тока сопровождающую правую тройку единичных векторов П1, П2, Пз, где П2 — вектор главной нормали, Пз — вектор бинормали. На линии тока г = г(5) П1 = г/йз — единичный вектор касательной, П2 = х О — кривизна линии тока, т. е. [c.15] Из систем (2), (3) могут быть сделаны важные выводы. [c.16] Рассмотрим теперь плоские и осесимметричные течения, в которых четвертое уравнение (2) удовлетворяется тождественно. [c.16] Здесь Ф( 0), Ф( ) -цию в семействах ф (р /гз = у — в осесимметричном. Произвольная функция ро ф) задается распределением полного давления в потоке исходя из формулировки задачи. [c.17] Отметим, что первое уравнение (6) интерпретируется как условие постоянства расхода газа через элементарную трубку тока в одномерном ( гидравлическом ) приближении из него находится распределение скорости в тонком канале (т. е. в канале с очень пологими стенками) как функция площади поперечного сечения. Второе уравнение (6) для потенциальных течений выражает довольно тривиальный факт, что сколь угодно близкие эквипотенциальные поверхности отстоят друг от друга по нормали на величину, пропорциональную модулю скорости. [c.17] Важным свойством этой системы является ее однородность относительно производных, что будет использоваться в дальнейшем (см. гл. 6, 6). [c.18] Ниже в основном будут рассматриваться плоские течения при этом случаи осесимметричных и пространственных течений будут каждый раз оговариваться. [c.18] О Если область течения бесконечна, то дополнительно принимается, что полпое давление функция ограниченной вариации. [c.18] Ударные волны. Соотношения Гюгонио. Ударная поляра. [c.19] В динамике идеального газа помимо течений с непрерывными полями скорости рассматриваются также течения с разрывами скорости (первого рода) на конечном числе кусочно гладких ориентируемых поверхностей. На этих поверхностях, которые называются ударными волнами или скачками уплотнения, происходят также разрывы плотности давления и температуры. Ясно, что на поверхностях разрыва дифференциальные уравнения газодинамики не имеют смысла. Поэтому для описания течений в областях, внутри которых могут находиться поверхности разрыва, используются уравнения баланса массы, импульса и энергии в интегральной форме, в которой фигурируют лишь величины У, р, Т, а их производные отсутствуют, благодаря чему эти уравнения баланса имеют смысл. [c.19] Рассмотрение балансовых соотношений в сколь угодно тонком слое — окрестности поверхности разрыва — с учетом предположений о кусочной гладкости этой поверхности и о непрерывности У, р р, Т справа и слева от нее позволяет получить, с помощью предельного перехода, соотношения между предельными значениями У, р р, Т (справа и слева) и нормалью к поверхности разрыва п (рис. 1.3). [c.19] Эти соотношения носят название условий Гюгонио. Они правомерны для любой поверхности разрыва, перемещающейся с конечной скоростью, и записываются одинаковым (инвариантным) образом в подвижной декартовой системе координат, связанной с поверхностью разрыва, такой, что одна из координатных плоскостей проходит через вектор скорости и нормаль к поверхности разрыва (либо через два вектора скорости — до и после разрыва). Это означает, что в данной плоскости соотношения между У, р р, Т по обе стороны разрыва такие же, как и в плоском стационарном течении. Поэтому соотношения Гюгонио для плоского стационарного течения имеют универсальный характер. [c.19] При указанном направлении коэффициент скорости Л при переходе через ударную волну не возрастает. При приближенном рассмотрении ударных волн в слабо сверхзвуковом потоке приращение энтропии при переходе через ударную волну оказывается пренебрежимо малым. В этом случае в качестве индикатора направления движения жидких частиц через ударную волну вместо возрастания энтропии берется убывание Л. [c.20] Отметим, что каждая ударная поляра представляет собой образ в плоскости годографа А/3 ударной волны, возникающей в равномерном сверхзвуковом потоке при А1 = Аоо. [c.20] Соотношения р2 = р2 р1 сг к) /З2 = /32( 1, сг,/с), вытекающие из условий Гюгонио, могут рассматриваться как параметрическое задание семейства замкнутых кривых (при постоянных р1, к) — ударных поляр в плоскости рР. [c.20] Вернуться к основной статье