ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейная теория обтекания тел вращения. Законы подобия из "Газовая динамика " Вследствие того, что получение точных решений уравнений движения газа во многих важных для приложений случаях невозможно, в газовой динамике широкое распространение имеют методы упрощения уравнений, позволяющие получать приближенные решения задач. Как правило, упрощение уравнений при описании того или иного класса движений газа связано с глубоким проникновением в качественные физические особенности этого класса движений, с пониманием того, влияние каких членов в уравнениях и в дополнительных условиях к ним является определяющим для рассматриваемых явлений. Упрощенные уравнения должны сохранять те свойства решений точных уравнений, которые являются существенными в изучаемых задачах. [c.335] Приближенные модели газовой динамики важны не только потому, что они дают возможность получить решения конкретных задач. Их значение состоит и в том (и это является иногда главным результатом использования приближенных моделей), что во многих случаях в рамках приближенных моделей обнаруживается подобие всех течений рассматриваемого класса или его определенных подклассов, что дает возможность переносить результаты расчета или экспериментального исследования одного течения на все течения этого класса (или на некоторую их часть) путем простого изменения масштабов определяющих течение величин. [c.335] Одним из наиболее широко употребляемых методов упрощения полных уравнений газовой динамики является метод малого параметра или метод возмущений. Возможность использования этого метода и его суть состоят в следующем. Пусть физический анализ задачи показывает, что в ее формулировке имеется параметр е такой, что интересующие нас свойства течений сохраняются при сколь угодно малых его значениях. Тогда на основе физических соображений можно ввести зависящие от е масштабы у (г) для различных входящих в уравнения и дополнительные условия величин и преобразовать все соотношения к новым переменным, полученным от деления исходных величин на их масштабы. В результате определяющие соотношения будут содержать члены различного порядка малости при е 0. Сохраняя в них лишь члены до определенного порядка величины (например, только главные члены, остающиеся прие = 0), получают приближенные уравнения для описания рассматриваемого класса задач. [c.335] Лишь в редких случаях удается доказать, что точное решение задачи стремится при е— 0 к решению приближенных уравнений (хотя бы асимптотически). Однако многие широко используемые в газовой динамике приближенные модели, основанные на методе малого параметра, хорошо согласуются в определенных пределах значений е с точными частными решениями и с результатами экспериментов. [c.335] Очевидным решением уравнений газовой динамики (1.7.12) является такое, в котором вектор скорости и параметры состояния одинаковы у всех частиц и не зависят от времени, т. е. [c.336] Соответствующие такому решению течения газа называются однородными потоками (иногда—постоянными потоками). [c.336] Можно рассматривать задачи о течениях, близких к однородному потоку, считая эти течения возмущением однородного потока (18.1). [c.336] Пусть отклонение рассматриваемого течения от однородного потока (18.1) характеризуется значением параметра е (таких параметров может быть и несколько), причем значению е = 0 соответствует невозмущенный поток. Причины возмущения основного потока могут быть различными. В дальнейшем метод малых возмущений будет использован в основном для изучения установившегося обтекания тел неограниченным однородным потоком газа во всем диапазоне чисел Маха от О до бесконечности. [c.336] Решение (18.1) точно описывает обтекание любой поверхности, которую можно образовать из участков поверхностей тока соответствующего решению (18.1) однородного течения,— например, обте- кание расположенной вдоль потока плоской пластины нулевой толщины при произвольной ее форме в плане, или обтекание двух таких пластин, пересекающихся вдоль линии тока основного течения,, и т. п. Поэтому возмущением однородного потока (18.1) можно считать течение около тела, все точки поверхности которого находятся на малом расстоянии от такой исходной обтекаемой поверхности. В задаче об обтекании такого тела возмущение основного однородного потока вызвано отличием положения и формы обтекаемой поверхности от первоначальных, т. е. изменением граничных условий. Наряду с изменением тела можно считать, например, что в бесконечности перед телом значения скорости и плотности на разных линиях тока не равны заданным постоянным Vi и Pj, а известным образом мало отличаются от них. Такое изменение условий в бесконечности тоже служит причиной возмущения основного потока. [c.336] При изучении нестационарных движений течение (18.1) может возмущаться и вследствие того, что обтекаемая начальная поверхность или образованное из нее тонкое тело совершают малые движения как целое или, в более общем случае, испытывают зависящие от времени деформации. Можно рассматривать как возмущение основного потока и нестационарное течение, возникающее в том случае, если начальные значения параметров газа в пространстве мало отличаются от их постоянных значений (18.1). [c.336] Укажем еще и на то, что возмущение решения (18.1) уравнений газовой динамики может быть обусловлено и малым изменением самих этих уравнений, например, включением в уравнения дополнительных членов (распределенных внешних сил, источников тепла и др.). [c.336] Таким образом, причины возмущения однородного потока могут быть весьма разнообразными. [c.337] Ограничимся далее возмущениями, вносимыми в однородный неограниченный поток помещенным в него телом. [c.337] Обратимся к точным уравнениям (1.4) — (1.6) газовой динамики для установившегося движения, считая массовые силы отсутствующими. [c.337] При адиабатических течениях эти уравнения имеют точные интегралы (1.10) и (1.11), выражающие постоянство значений энтропии 5 и полного теплосодержания вдоль линий тока. [c.337] Так как поток в бесконечности перед телом однороден, то значения Ло и 5 одинаковы на всех линиях тока в области непрерывности течения, т. е. при дозвуковом течении — всюду, а при сверхзвуковом набегающем потоке или, если при дозвуковом набегающем потоке вблизи тела образуются местные сверхзвуковые зоны со скачками уплотнения,—то Ло по-прежнему постоянно всюду, а 5 постоянна только в области до возникающих скачков уплотнения. На линиях тока, прошедших через скачки, энтропия неодинакова, поскольку интенсивность скачков в общем случае переменна. Поэтому согласно уравнению (1.12) поток в области течения за скачками завихрен. [c.337] Индекс 1 соответствует параметрам однородного потока. [c.337] В дальнейшем будем считать также, что возмущения скорости малы не только сравнительно с величиной скорости, но и с величиной скорости звука в газе. Это предположение исключает из рассмотрения так называемые гиперзвуковые течения, для которых выполнено неравенство Гиперзвуковые течения газа и теория малых возмущений гиперзвукового потока будут рассмотрены отдельно в 23. [c.338] О причине сохранения в коэффициенте при ди/дх величины и, малой сравнительно с 1/, будет сказано ниже. [c.338] Как уже говорилось, если возмущенное течение всюду дозвуковое, то энтропия во всем потоке постоянна и, следовательно, все термодинамические функции можно считать зависящими от одного параметра, например давления или удельного объема. При наличии в потоке скачков уплотнения (слабого семейства) увеличение энтропии в них имеет третий порядок по углу отклонения потока в скачке (вновь мы оставляем в стороне гиперзвуковые течения, для которых это неверно). Поэтому и при наличии скачков, с точностью до членов порядка 8 , энтропия постоянна во всем потоке. [c.338] Вернуться к основной статье