ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Установившиеся движения газа. Основные уравнения и их интегралы Двумерные движения из "Газовая динамика " При поджигании газа у открытого конца трубы перед фронтом горения вновь должна пойти ударная волна. Течение за фронтом либо однородное в случае малых скоростей фронта, либо с примыкающей к фронту центрированной волной Римана—в случае больших скоростей фронта. В последнем случае возможно истечение газа из трубы со звуковой скоростью аналогично случаю детонационного горения. [c.229] Рассмотрим одномерные неустановившиеся движения газа, в которых его давление р и плотность р мало отличаются от постоянных значений рх, р1, а скорость частиц и мала по сравнению со скоростью звука 1, соответствующей р и Р1. Такие движения назовем возмущениями однородного состояния покоя. [c.229] И представляют собой три системы параллельных прямых линий, не зависящих от решения. [c.232] Пользуясь общим решением (18.7), (18.8), легко решать различные задачи. [c.232] например, при / = 0 скорость всюду равна нулю, давление вне отрезка Л5[— 1] равно а на этом отрезке / 1 + Д/7, возмущения энтропии распределены произвольно. Найдем возникающее движение (линейный аналог задачи об ударной трубе или о взрыве). [c.232] Эти волны будут распространяться неограниченно долго, если область, занятая вначале покоящимся однородным газом, простирается в обе стороны в бесконечность. При наличии на конечном расстоянии границ области (стенка, контактный разрыв и т. п.) в результате взаимодействия бегущей волны и границы могут возникнуть отраженные волны, распространяющиеся внутрь области. [c.233] Следовательно, после отражения от свободной поверхности форма волны и ее амплитуда остаются прежними, знак возмущения давления меняется на противоположный, знак скорости сохраняется скорость газа у открытого конца трубы в области наложения падающей и отраженной волн удваивается сравнительно со скоростью в падающей волне. [c.234] Так же, как и в случае v-= 1, общее решение для возмущения давления представляет собой сумму двух волн, бегущих в направлениях от центра симметрии и к центру. Однако, в отличие от пло- ских волн, интенсивность сферических волн давления при распро- Странении изменяется пропорционально /х. То же поведение имеет и связанная с давлением часть возмущений плотности. [c.234] Отсюда следует, что возмущения, описываемые потенциалом (18.12), можно рассматривать как результат действия в центре симметрии с=0 источника (стока) с объемным расходом Q(/). Согласно выражению (18.12) возмущения от действия такого источника приходят в точку с координатой х с опозданием относительно момента их возникновения в центре симметрии на время х1а , которое требуется возмущению для его распространения от центра симметрии до данной точки со скоростью звука а , В связи с этим потенциал возмущений вида (18.12) называется запаздывающим потенциалом. [c.235] И переходит в него в предельном случае бесконечной скорости распространения возмущений а = оо. [c.235] Согласно формулам (18.13) изменение давления в волне при некотором значении х повторяет с соответствующей задержкой и уменьшением интенсивности изменение по времени производной от мощности источника. Закон изменения скорости в данной точке при прохождении волны существенно меняется с увеличением расстояния х. При малых X изменение скорости с соответствующим сдвигом по времени и уменьшением интенсивности повторяет изменение по времени мощности источника, при больших же х изменение скорости становится все более близким к изменению производной от мощности источника. [c.235] В случае цилиндрических волн (v = 2) общее решение уравнения (18.6) имеет несколько более сложный вид, чем для плоских v= ) или сферических (v= 3) волн. Поскольку в линейном приближении взаимодействие волн отсутствует, то для нахождения решения с цилиндрической симметрией можно воспользоваться суперпозицией полученных выше сферически-симметричных решений. [c.237] Очевидно, что полученное выражение для ф обладает осевой симметрией и не меняется при сдвиге начала отсчета координаты вдоль оси симметрии, т. е. не зависит от z. Потенциал (18.14) удовлетворяет уравнению (18.6) при v = 2 и ему соответствуют течения с цилиндрическими волнами. Поэтому в выражении для г в формуле (18.14) можно положить 2 = 0 и рассматривать течение в одной только этой плоскости. [c.237] Остановимся на определении пределов интегрирования в формуле (18.14). Для этого обратимся к рис. 2.18.4. Из-за симметрии течения относительно плоскости 2 = 0 можно в формуле (18.14) рассматривать только верхнюю полуось z, удвоив затем результат. Если источники начинают действовать в момент времени / = 0, то очевидно, что ф = 0 в области х ait возмущения от источников еще недошли до этой области. При больших значениях времени, когда х ait. [c.237] На рис. 2.18.5 приведены графики распределения давления в распространяющейся вправо волне на некотором расстоянии от источника при 1, 2, 3 для одной и той же функции Q[t), изображенной на рис. 2.18.3, а. [c.238] В соответствии с нелинейной теорией в бегущих непрерывных волнах при их распространении могут возникнуть разрывы с меняющейся во времени интенсивностью. По линейной теории разрывы могут образоваться лишь вследствие их наличия в начально-краевых условиях, причем в случае плоских волн их интенсивность в процессе распространения не изменяется. [c.239] Однако на небольших удалениях от места возникновения слабых возмущений линейная теория вполне удовлетворительно описывает их распространение. [c.239] Упомянутые выше недостатки линейной теории связаны прежде всего с тем, что в этой теории все возмущения распространяются с одинаковой скоростью независимо от их амплитуды. Это исключает возможность градиентной катастрофы и, следовательно, возможность образования разрывов — явления, столь важного в нелинейной теории, а также исключает взаимодействие простых волн и ударных волн, бегущих в одном направлении. Линеаризация же уравнений исключает вообще взаимодействие волн, в том числе и бегущих в разных направлениях. [c.239] При достаточно длительном сохранении неизменными всех условий, которые определяют движение газа, можно ожидать, что и движение не будет меняться во времени, т. е. будет установившимся. [c.240] если какое-либо тело неизменяемой формы движется достаточно долго поступательно с постоянной скоростью в безграничном объеме первоначально покояш,егося однородного газа, то в системе координат, связанной с телом, движение во многих случаях будет установившимся. [c.240] Вернуться к основной статье