ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Соотношения между параметрами газа на разрыве. Эволюционные разрывы. Слабые и сильные ударные волны из "Газовая динамика " Функция V монотонно убывает при уменьшении давления или плотности. При адиабатических движениях нормального газа она остается ограниченной по модулю при обращении давления и плотности в нуль (при этом обращается в нуль и скорость звука). Для таких движений, как и при других баротропных процессах, обладающих этими свойствами, удовлетворить условию u = u i) при x = X t) можно только, если Ып(01 не превосходит некоторого предельного значения Ыщах при котором давление и плотность газа у поршня обращаются в нуль. [c.179] При изотермическом расширении совершенного газа в трубе, как следует из вида функции у(р) (формула (3.19)), предела увеличения скорости нет Ытах = - Как и в случае установившихся течений (см. конец 3 гл. I), способность газа приобретать при изотермическом нестационарном расширении сколь угодно большую скорость связана с тем, что при этом к газу извне должна подводиться энергия в виде тепла. [c.180] Вернемся вновь к задаче о поршне. Пусть закон движения поршня задан в следующ,ей форме. Сначала, как и ранее, поршень начинает выдвигаться влево с нулевой скоростью в точке О, ускоряясь до некоторого значения скорости, меньшего максимальной, в точке В, после чего скорость поршня остается постоянной (рис. 2.8.3, а). Тогда ясно, что волна Римана будет лишь в области II между прямолинейными характеристиками ОА и ВС. К характеристике ВС слева примыкает зона III однородного состояния газа, движущегося со скоростью, равной скорости поршня. Это следует из краевого условия и (X, t)= и = onst, согласно которому в области III и второй инвариант Римана имеет постоянное значение. [c.181] Будем теперь уменьшать длину отрезка ОВ траектории поршня, сохраняя неизменной конечную скорость поршня. В пределе, когда длина участка ОВ обращается в нуль, все прямолинейные характеристики волны Римана в зоне II выходят из одной точки О и волна Римана становится центрированной (рис. 2.8.3, б). При этом поршень с самого начала будет иметь постоянную скорость. [c.181] Отметим, что в найденном течении с центрированной волной Римана имеется особенность в распределении параметров газа при подходе к точке О по разным направлениям значения параметров различны. Эта особенность вызвана, как уже о том говорилось в конце 6, несогласованностью граничных значений скорости в точке О пересечения двух участков границы области течения полуоси X О и траектории поршня ОЬ. [c.181] Легко убедиться, что система постоянных определяющих параметров задачи содержит масштабы для давления, плотности и скорости (pi, Pl, и или = VYPi/Pi) и не содержит масштабов длины и времени, позволяя определять лишь их комбинацию xlt. [c.182] Возникновение центрированной волны Римана с особенностью в точке О в задаче об истечении газа в вакуум при удалении перегородки вновь вызвано несогласованностью условий, задаваемых на границе области движения при подходе к точке О вдоль участка границы t О давление равно р , а при подходе к этой точке вдоль неизвестного заранее участка границы—переднего фронта истекаю-щего газа—давление равно нулю. [c.182] Рассмотрим еще задачу о взаимодействии простых волн или — иначе—задачу о двух поршнях. [c.183] Встретившись (в точке О на рис. 2.8.6, а), волны начинают взаимодействовать, проникая одна сквозь другую. [c.184] Область взаимодействия волн представляет собой четырехугольник ОАСВ, стороны которого образованы отрезками акустических характеристик. Распределение параметров Римана вдоль характеристик обоих семейств в этой области известно по их значениям на отрезках ОА и ОВ, однако сами характеристики искривлены и для их нахождения в области О АС В нужно решить задачу Гурса. [c.184] Для простоты изложения далее рассматривается случай, когда обе волны Римана являются центрированными (именно такой случай изображен на рис. 2.8.6, а). [c.184] Сформулированную задачу Гурса удобно решать с помощью уравнений (3.20), принимая за независимые переменные инварианты Римана г и / и считая х а t искомыми функциями. Область О АС В переходит в плоскости г, I (рис. 2.8.6, б) в прямоугольник, ограниченный указанными на рис. 2.8.6, б линиями г = onst и / = onst. На сторонах ОА и ОВ этого прямоугольника искомые функции х и t известны (напомним, что при этом их значения связаны соотношениями на характеристиках). [c.185] На рис. 2.8.6, б приведена также линия г—/ = 2у(/ ) = 0, т. е. линия, где давление равно нулю—линия вакуума. При увеличении интенсивности одной или обеих взаимодействующих волн Римана характеристики / = onst и г = onst, идущие из точек Л и В в направлении линии вакуума, заканчиваются в точках этой линии отрезок линии вакуума образует тогда часть границы области взаимодействия. При этом точка С плоскости х, t уходит в бесконечность, так как из (8.5) и (8.6) следует, что на границах АС и ВС области взаимодействия t— оо при ра— 0. Таким образом, область определенности решения в рассматриваемой задаче Гурса становится бесконечной. [c.185] Не описывая общего метода решения задачи о взаимодействии волн, укажем лишь, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостями, когда уравнения (3.20) приводятся к виду (3.21), решение удается получить в аналитической форме, а для указанной в 3 совокупности значений у—и выразить его через элементарные функции. [c.185] Совсем просто получить решение при у = 3. В этом случае, как было показано в 3, акустические характеристики обоих семейств в плоскости X, t прямолинейны. Прямолинейные характеристики в области взаимодействия являются просто продолжением соответствующих характеристик бегущих волн, и распределение параметров Римана г и / по ним известно—оно такое же, как и в самих бегущих волнах. [c.185] Очевидно, что если взаимодействующие бегущие волны (не обязательно центрированные и в любом нормальном газе) отличаются только направлением распространения, то течение симметрично относительно плоскости встречи обеих волн. В силу симметрии в этой плоскости ы = О и ее можно принять за неподвижную стенку. Рассматривая течение лишь с одной стороны стенки, получаем, таким образом, решение задачи об отражении бегущей волны от жесткой стенки. [c.186] Интересно, что при этом давление во всей области взаимодействия одно и то же и зависит только от времени. [c.186] Как уже говорилось ранее, если при решении задач о движениях газа в области движения происходит пересечение характеристик одного и того же семейства (как, например, в бегущих волнах сжатия), то непрерывность распределений параметров газа нарушается и необходимо рассматривать движения с разрывами. В связи с этими следующий параграф посвящен необходимым для дальнейшего дополнительным сведениям о соотношениях на разрывах в газе. [c.186] I было установлено, что внутри занятой газом области могут быть поверхности, на которых параметры газа терпят разрыв. Значения параметров газа с обеих сторон такой внутренней границы и скорость ее перемещения в пространстве связаны условиями, налагаемыми законами сохранения. В 4 и 7 гл. I эти условия были получены для поверхностей разрыва без сосредоточенных на них притоков массы, импульса и энергии—для ударных волн и контактных разрывов. В 5 гл. I получены условия для поверхностей разрыва с сосредоточенным притоком тепла—волн детонации и волн дефлаграции. [c.186] Рассмотрим вопрос о числе условий на поверхностях разрыва различного типа, необходимом для решения задач о течениях газа с разрывами. Значения параметров газа в точках внутренней границы— по три с каждой ее стороны, скорость перемещения границы В, и, может быть, еще N каких-либо других заранее неизвестных величин, характеризующих свойства границы, образуют систему из 7-f величин. Для их определения необходимо такое же число условий. [c.187] Вернуться к основной статье