ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи с условиями на характеристиках (задача Гурса, задачи с условием на траектории задача о поршне, задача со свободной границей) из "Газовая динамика " В общем случае эта область представляет собой криволинейный треугольник АВС (однако при некоторых специальных начальных условиях граничные характеристики могут не пересекаться точка С уходит в бесконечность). [c.165] Имеется доказательство (см., например, [5]) того, что если существует непрерывно дифференцируемое решение описанной задачи, то оно единственно приближенное решение задачи, данное выше, при уменьшении расстояний между узлами сетки все более точно аппроксимирует точное решение в узлах сетки. [c.165] Совершенно аналогично предыдущему решение может быть найдено и тогда, когда начальные значения искомых функций заданы в плоскости х, 1 на отрезке АВ пространственно-подобной кривой (рис. 2.5.2). [c.165] Описанная задача о построении решения по значениям трех искомых функций на отрезке пространственно-подобной кривой называется задачей с нехарактеристическими начальными данными или задачей Коши (ее называют еще задачей I типа). Область, в которой находится решение по начальным данным, называется областью определенности решения этими начальными данными. [c.165] Используем решение задачи Коши для анализа вопроса о зависимости решения от начальных данных. [c.166] Возьмем внутри области найденного решения (рис. 2.5.2) какую-либо точку Р и проведем через нее акустические характеристики обоих семейств до пересечения их с начальной кривой в точках и Р . Отрезок начальной кривой между точками Р+ и Р называется областью зависимости точки Р. По построению решения ясно, что решение в точке Р зависит только от начальных значений на отрезке Р+Р изменение начальных значений вне этого отрезка не сказывается на решении в точке Р (для непрерывных решений). [c.166] Отсутствие такого влияния есть следствие конечной скорости распространения слабых возмущений возмущения из области вне отрезка Р+Р не успевают прийти в точку Р, распространяясь в пространстве с конечными характеристическими скоростями и + а и и—а соответственно. [c.166] Существование областей определенности, зависимости и влияния позволяет во многих случаях проводить качественный анализ одномерных течений, не прибегая к решению описывающих их уравнений. [c.166] Пусть начальные данные на отрезке АВ (рис. 2.5.2) таковы, что определенное ими решение в области АВС непрерывно дифференцируемо. Изменим начальные данные на участке АР отрезка АВ с сохранением их непрерывности в точке Р+. Будем считать, что новое решение задачи Коши по-прежнему непрерывно в области определенности. Решение в области Р+ВС и, в частности, на характеристике Р+С+ осталось после изменения начальных данных прежним, поскольку оно целиком определено данными на Р+В, решение же левее характеристики Р+С+ изменилось, так как эта часть области определенности решения входит в область влияния отрезка i4P .. [c.166] Таким образом, решение в области Р+ВС+ может быть непрерывно продолжено через характеристику Р+С . неединственным образом. [c.166] Отличие измененного решения от первоначального может состоять в том, что производные от некоторых искомых функций по нормали к характеристике станут различными при подходе к ней с разных сторон (производные по касательной к характеристике с обеих ее сторон одинаковы из-за непрерывности решения на характеристике). [c.166] Уточним понятие слабого разрыва решения. Гладкая кривая Г в области определенности решения называется линией слабого разрыва, если решение непрерывно всюду, его первые производные тоже непрерывны вне кривой Г и односторонне непрерывны на ней, но некоторые производные по нормали к Г имеют в ее точках разрыв первого рода. [c.167] Из сказанного выше следует, что характеристика может быть линией слабого разрыва решения (но может и не быть ей). Покажем, что если на какой-либо линии решение имеет слабый разрыв, то эта линия обязательно является характеристикой. [c.167] Рассмотрим еще одну задачу (назовем задачей III типа). Пусть (рис. 2.6.2) на отрезке О А акустической характеристики, например первого семейства, заданы значения искомых функций (опять из них только две независимы) и пусть на неизвестной заранее траектории частицы, проходящей через точку О, задана некоторая связь между искомыми функциями и, может быть, х и i (кроме заданного на ней постоянного значения энтропии последнее не требуется, если движение баротропно). Примем также, что начальные значения искомых функций на отрезке О А удовлетворяют в точке О наложенной на траектории 0L связи между ними и имеют в этой точке то же значение энтропии. Требуется найти область определенности решения и найти это решение, в частности, найти форму траектории 0L. [c.169] Укажем на два частных случая рассмотренной задачи. [c.169] Второй случай пусть, наоборот, связь G и, р х, t) = О не содержит и. Эта задача возникает при нахождении движения газа. [c.169] Еще раз подчеркнем, что изложенное описание решения сформулированных задач предполагает существование их непрерывно дифференцируемого решения (в задаче Гурса траектория, исходящая из точки пересечения характеристик, может быть линией слабого разрыва энтропии). [c.170] Подчеркнем, что характер кривой (пространственно-подобная или временно-подобная в первом или втором вариантах) связан с значениями искомых функций на ней и поэтому не во всех случаях заранее определен. Соответственно с этим в процессе движения может меняться число условий, которые необходимо задавать на границе для определения решения. [c.171] При постановке граничных условий полезно учитывать, что про-странственно-подобная граница в плоскости х, i соответствует, очевидно, перемещению этой границы со сверхзвуковой скоростью относительно газа, а временно-подобная—дозвуковой. При этом сквозь пространственно-подобную границу газ втекает внутрь области течения в первом случае и вытекает—во втором, сквозь временноподобную тоже либо втекает (в первом из рассмотренных случаев), либо вытекает (во втором случае), в промежуточном случае, когда граница совпадает с характеристикой (траекторией), она непроницаема для газа. [c.171] Если сама граница области течения должна находиться при решении задачи (как это было, например, выше в задаче со свободной границей), то число краевых условий на такой границе должно быть на единицу большим, чем это следует из предыдущего рассмотрения. [c.171] Вернуться к основной статье