ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщенное плоское напряженное состояние. Уравнение Леви. Функция напряжений из "Теория упругости Изд4 " Мы переходим к большой категории задач теории упругости, важных в смысле практических приложений и вместе с тем допускающих значительное упрощение математической стороны решения. [c.136] Упрощение заключается в том, что в этих задачах одну из координатных осей, например Ог, можно отбросить и все явление рассматривать как бы происходящим в одной плоскости Оху. На практике такой случай в чистом виде осуществить весьма трудно, но с некоторым приближением мы его встречаем во многих задачах. Задачи эти можно разделить на две группы, в некотором отношении взаимно противоположные, но объединяемые одной общей математической формой решения. [c.136] Уравнения (6.1) и (6.2) показывают, что все перемещения и деформации происходят исключительно в направлениях, параллельных плоскости Оху, и притом во всех сечениях тела, параллельных плоскости Оху = где — любое число), картина перемещений и деформаций одинакова. Деформация этого рода называется плоской деформацией. [c.136] Если из такого длинного призматического тела двумя близкими сечениями, параллельными плоскости Оху, выделим вдали от его концов тонкий элемент с приходящейся на него нагрузкой и представим себе, что он работает как отдельное упругое тело, то заметим. что в нем должны появиться удлинения вдоль оси Ог удлинения эти являются результатом поперечного действия нагрузки, параллельной плоскости Оху (начало 16). На самом же деле этот элемент находится в соседстве с другими двумя элементами, имеющими такие же удлинения, но в обратном направлении в результате взаимодействия этих элементов удлинений и перемещений вдоль оси Ог не будет, но между соседними элементами появятся силы взаимодействия, выражающиеся в нормальных напряжениях Zg, появляющихся вследствие уничтожения деформации е . [c.137] Следовательно, Е ФО. но оно есть функция основных напряжений X, и Уу. вызванных нагрузкой. [c.138] Обратимся теперь к другому случаю, аналогичному предыдущему, но противоположному в смысле протяжения вдоль оси Oz, т. е. опять рассмотрим задачи, показанные на рис. 46. Предположим, однако, что длина призматического тела вдоль оси Oz весьма мала значит, мы будем иметь тонкую пластинку (толщиной h), нагруженную по боковой поверхности (ребру) силами, параллельными ее основаниям. Пока нагрузка не превосходит некоторого предела (критического значения), равновесие пластинки будет устойчиво и она не будет прогибаться в направлении оси Oz. Этот случай называется обобщенным плоским напряженным состоянием. [c.140] От соответственных условий (6.6) и (6.7) для плоской деформации они отличаются только условием 2 = 0. [c.141] В отношении деформаций от задачи о плоской деформации данная задача отличается тем, что адесь не равно нулю [ср. формулы (6.2)[. Оно будет представлять собой поперечную деформацию (ср. начало 16) вдоль оси Ог, вызываемую основными напряжениями Хд, Уу, лежащими в плоскостях, параллельных Оху. [c.141] Резюмируя предыдущие рассуждения, скажем, что при решении задач, как на плоскую деформацию, так и на обобщенное плоское напряженное состояние, можно пользоваться основными группами уравнений (1ц), (Пц). (П1п) и (IVn). Закон же Гука выражается для этих задач различно для плоской деформации—уравнениями (Vn). а для плоского напряженного состояния—уравнениями (V ). Однако важно отметить, что вид этих уравнений в обоих случаях одинаков различие заключается лишь в значении упругих постоянных, которые в случае плоской деформации выражаются через и о формулами (6.5). [c.142] В дальнейшем за неизвестные мы выбираем напряжения Yy, Ху=Уа , поэтому уравнение неразрывности деформаций (IVn) необходимо преобразовать, внеся в него вместо деформаций их выражения из уравнений (V ) или (V ), в зависимости от того, имеем ли мы плоскую деформацию или плоское напряженное состояние. [c.142] Если эти выражения напряжений подставим в уравнения (6.14), то убедимся, что они тождественно удовлетворяются, какова бы ни была функция ср (х, у), лишь бы существовали и были непрерывными частные производные ее до четвертого порядка включительно. Функция эта называется функцией напряжений или функцией Эри. [c.145] Таким образом, решение плоской задачи представляется так следует найти функцию ср х, у), удовлетворяющую во всех точках поперечного сечения исследуемого тела (рис. 46) уравнению (IX), а на контуре этого сечения — уравнениям (X), где Х и У — проекции внешней нагрузки на оси координат. Найдя функцию ср, по уравнениям (VIII) определим напряжения дальнейшее разыскание деформаций и перемещений выполняется по уравнениям (V ) или (Vn) и (Шп), как указано выше. [c.147] Имея в виду, что поверхностные нагрузки Х и рассчитываются на единицу длины дуги контура. заметим, что величины Х и в правых частях равенств (6.20) представляют собой суммы проекций на оси Ох и Оу сил, приложенных к части стержня. [c.148] Вернуться к основной статье