ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распределение напряжений в данной точке. Поверхность напряжений Коши инварианты тензора Напряжений. Эллипсоид Ламе из "Теория упругости Изд4 " Предположим, что элемент ОаЬс вырезан внутри упругого тела и Лщ, Y , являются проекциями полного напряжения Р по косой площадке аЬс на оси случайной системы координат Охуг (рис. 13). [c.24] Для этой цели примем нормаль V к площадке за одну из новых осей координат. [c.25] Другие две оси и, w выберем в плоскости аЬс (рис. 14). [c.25] Очевидно (рис. 14), нормальное напряжение на площадке ab получим как сумму проекций напряжений Х , на нормаль v. [c.25] Формулы (1.12) и (1.13) значительно упрощаются в случае так называемого плоского напряженного состояния, когда все силы параллельны одной плоскости и распределены равномерно в направлении, перпендикулярном к этой плоскости. [c.25] В этом виде они известны из сопротивления материалов уравнения (1.15) можно, конечно, вывести и непосредственно из рассмотрения рис. 15. [c.26] Формулы (1.12) и (1.13) утверждают важное положение о том что. [c.26] Девять составляющих (1.16) или (1.17) определяют тензор напряжений и с этой точки зрения называются компонентами тензора напряжений. Формулы типа (1.12) и (1.13) (общее их число, как мы сказали, равно девяти) определяют преобразование тензора от одной системы координат к другой. Тензор напряжений (1.16) симметричен, так как компоненты, симметричные относительно главной диагонали (Хд., У у, Z , равны между собой на основании (1.6) это свойство сохраняется, очевидно, и при других системах координат ). [c.27] Допустим для определенности, что квадрика есть однополостный гиперболоид и что она построена на рис. 16 для простоты чертежа показано ее сечение одной из главных плоскостей и предположено, что внешняя нормаль М О к площадке лежит в этой плоскости. Взяв площадку и проводя к ней внешнюю нормаль Му, найдем длину ММ вектора / зная ее, по второй из формул (1.21) найдем нормальное напряжение = ММ. [c.28] Известно, что эти частные производные пропорциональны косинусам углов, которые образует с осями координат нормаль MlQ к поверхности на этом основании последние равенства показывают, что косинусы направляющих углов нормали к поверхности пропорциональны проекциям Х , полного напряжения по взятой ллощадке на оси координат. Отсюда вывод полное напряжение МР на площадке перпендикулярно к касательной плоскости 551 к поверхности зная его направление, получим и величину Р = МР, проведя МР ММ. Теперь, конечно, легко найдем и касательное напряжение МТ. Таким образом, квадрика Коши позволяет полностью исследовать распределение напряжений в данной точке М тела. [c.29] Из формулы (1.21) видно, что в этом случае = т. е. [c.29] Это уравнение дает асимптотический конус, разделяющий указанные два гиперболоида и стремящийся сблизиться с ними на бесконечности (рис. 16). [c.30] Если конец вектора, изображающего нормальное напряжение на площадке, попадает на однополостный гиперболоид (1.26), то это напряжение будет положительным, т. е. растягивающим если же он попадает на двухполостный гиперболоид, то напряжение будет сжимающим. В промежуточном случае он может направиться по образующей асимптотического конуса (1.28) в этом случае длина вектора обращается в бесконечность и согласно (1.21) V = 0. Значит, на площадках, нормальных к образующим асимптотического конуса, действуют только касательные напряжения. [c.30] Добавив сюда основное соотношение между направляющими косинусами нормали V. [c.31] Подставляя это в (1.30), найдем множитель X, а значит, и самые косинусы. Таким образом, направления главных площадок будут определены. [c.32] Если главные площадки в данной точке найдены, то наряду с квадрикой Коши можно указать другую геометрическую картину распределения напряжений, предложенную Ламе. [c.32] Вернуться к основной статье