ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые негауссовские модели случайных процесОсобенности модели сигнал плюс шум из "Выбросы траекторий случайных процессов " Гауссовские процессы относятся к наиболее распространенному классу случайных процессов они обладают многими важными свойствами и играют особую роль как в теоретических, так и в прикладных исследованиях (в большинстве задач, как правило, заслуживают отдельного рассмотрения). [c.28] П и) = П (т ), Г1 (ти) = (т ) =1, г, У = 1, тг, у — алгебраическое дополнение элемента (Тгу) в определителе ] г ]. [c.29] Учитывая, что для нормированной корреляционной функции гII (т) всегда справедливо свойство 1 (т) 1, из формулы (20) легко заметить, что введенный здесь параметр у является неотрицательной величиной у 0. [c.32] Из существуюш его многообразия негауссовских моделей остановимся здесь лишь на кратком рассмотрении стационарных случайных процессов с у- п х Р спределением. Модели таких процессов имеют достаточно общую структуру и эффективно используются при решении многих практических задач. [c.33] На рис. 1.4 приведены плотности вероятностей негауссовскпх случайных процессов (5), (7) и (9). Эти кривые соответствуют -распределению со степенями свободы п = 1, 2, 3. В соответствии с центральной предельной теоремой при увеличении числа степеней свободы 72, т. е. при увеличении числа слагаемых в определении случайного процесса (2), плотность вероятности От 0 по своей форме будет прибли каться к нормальной. [c.34] Плотности вероятностей (14) и (15) показаны на рис. 1.5. При увеличении числа степеней свободы п х -распределение (12), так же как и х-распределенпе (3), приближается к нормальному. Однако следует отметить, что скорость приближения х Процесса к гауссовскому значительно меньше, чем соответствующая скорость приближения для Х Процесса. [c.35] Модель (2) является достаточно общей. При определенных условиях подобной моделью описываются, например, информационные сигналы на входе многих реальных приемных устройств, флюктуационные явления в автогенераторах, амплитудные и фазовые искажения при распространении электромагнитных и акустических волн в случайно-неоднородных средах, эффекты рассеяния радиоволн на шероховатых поверхностях. Следует также подчеркнуть, что при соответствующем выборе параметров такая модель успешно используется не только для представления сигнала, но и для описания узкополосных флюктуационных шумов. [c.36] Графически выражение (18) представлено на рпс. 1.7. [c.39] В отсутствие гармонического колебания (Ат — 0) определения огибающей (20) и фазы (21) переходят в соответствующие определения (6), (7) для узкополосного процесса ( ). [c.39] Для случайного гауссовского процесса А (1) будет справедлива аналогичная формула она получается из (34) заменой индекса па с. [c.43] Воспользовавшись известным свойством согласованности плотностей вероятностей, из общ ей формулы (37) интегрированием по лишним переменным могут быть получены необходимые при решении отдельных задач частные результаты. [c.44] Особенности поведения траекторий 1 е [ о, + Т] непрерывных дифференцируемых случайных процессов ( ) во многих практических задачах удобно описывать числовыми характеристиками. Одной пз наиболее простых характеристик такого типа является величина щ Н, Т), равная числу моментов времени в которые траектория процесса ( ) на интервале [ о, о + пересекает некоторый заданный уровень Н или заданную функцию Н t). Число пересечений п% (//, Т) является случайной величиной, которая в общем случае зависит от выбранного уровня Я, длительности рассматриваемого временного интервала Т и определяется вероятностными свойствами процесса ( ). [c.45] При исследовании числа пересечений щ (Я, Т) обычно возникают три основные задачи нахождение среднего числа пересечений М щ (Я, Г) , определение дисперсии О [щ (Я, Т) числа пересечений и нахождение закона распределения случайной величины щ (Я, Т). В данной главе для различных моделей случайных процессов ( ) рассматриваются особенности и результаты решения подобных задач. [c.45] Формулировка условий пересечения траекторией I t) уровня Н в различных задачах может осуществляться по-разному [34, 75]. Однако при выполнении указанных свойств (1.3.2) и (1.3.4), различные определения, по существу, приводят к одинаковым конечным результатам. [c.46] Поэтому на малом Ai практически может быть не более одного пересечения, т. е. имеется лишь две возможности на интервале Ai не будет выброса (с вероятностью р ) или же будет один выброс (с вероятностью Pi = 1 — Ра). [c.46] Формулы (10)—(12) первоначально были получены Райсом [140] и рассматривались во многих последующих работах. [c.48] Во избежание ошибок целесообразно еще раз подчеркнуть, что в качестве подынтегрального выражения в формулы (10)—(12) входит совместная плотность вероятности р (Е, ) = р ( (t), i t)) для значений процесса (t) и значений его производной I (t) = (t) I dt в один и тот же момент времени , принадлежащий интервалу [О, Т], причем в этой совместной плотности вероятности нужно положить (t) = Я. [c.48] В отдельных задачах такое представление может оказаться более удобным, чем аналогичные выражения (10) и (12). [c.49] Очевидно, что пересечения рассматриваемого процесса ( ) с заданной кривой а ( ) совпадают с нулями функции т] ( ), причем в моменты положительных пересечений случайной функцией Л (О нулевого уровня выполняются условия 1 ( ) = О, г ( ) 0. [c.49] Вернуться к основной статье