ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Спектрально-корреляционные характеристики процесУсловия непрерывности и дифференцируемости из "Выбросы траекторий случайных процессов " По своему содержанию данная глава носит вводный характер. В ней даются необходимые определения и приводятся общие свойства некоторых наиболее распространенных моделей случайных процессов. Кратко рассматриваются спектрально-корреляционные характеристики, подчеркивается их существенное влияние на свойства непрерывности и дифференцируемости выборочных функций, перечисляются отдельные особенности поведения производных стационарного случайного процесса. Применительно к модели сигнал плюс шум рассматриваются характерные свойства совместных распределений для значений огибающей, случайной фазы и их производных. [c.11] Следует подчеркнуть, что основное внимание в данной главе уделяется лишь тем результатам, которые наиболее важны при исследованиях характеристик выбросов и непосредственно используются при изложении материала последующих глав. [c.11] Функций F I 1), р (I 1) и 0 (/у 1) однозначно связаны между собой, й, следовательно, все три способа описания (1)—(3) случайной величины ( 1) формально являются равноценными. [c.12] Одна группа подобных ограничений позволяет выделить широкий класс стационарных процессов. Вероятностные характеристики таких процессов инвариантны к временным сдвигам, ж, следовательно, выборочные функции 1 ( ) t Т обладают свойством некоторой стационарности. Характер инвариантности может быть при этом различным, и поэтому для случайных процессов ( ) в принципе существуют различные понятия стационарности. Так, например, стационарным в узком смысле называется процесс ( ), для которого при произвольном п и произвольно выбранных моментах времени i = 1, 2,. . ., совместное распределение случайных величин i ( 1 + т), 1 ( 2 + т),. . ., I tn + т) не зависит от временного сдвига т, т. е. [c.14] Стационарным в широком смысле называется случайный процесс ( ), для которого математическое ожидание mi t) = М (i) не зависит от времени, а корреляционная функция Щ ti, tj) зависит не от выбранных значений ti и tjj а от их разности, т. е. [c.14] Второе определение стационарности (10) является более широким, так как в общем случае оно накладывает ограничения лишь на отдельные свойства функций (...) и Рп ( ) при тг 2. Процессы, удовлетворяющие условиям (10), будут рассматриваться в последующих главах достаточно часто, поэтому для краткости будем их обычно называть просто стационарными. [c.14] Существенное влияние на решение дшогих практических задач оказывают спектрально-корреляционные свойства процессов при рассмотрении класса стационарных случайных процессов такие свойства часто играют определяющую роль [56, 77, 99]. [c.14] Поведение функций Ri (т) и 5 (со) определяется особенностями рассматриваемых процессов (i). Часто, например, в радиофизических задачах нормированные корреляционные функции г (т) = = Rl t)IRi (0) стационарных случайных процессов ( ) представляют собой или некоторую монотонно убывающую функцию, г (т) — р (т) аргументах, или быстро осциллирующую затухающую функцию типа г (х) = р (х) os оХ. [c.15] Наряду с использованием параметров Тн п Асоэ в задачах исследования характеристик выбросов случайных процессов достаточно часто возникает необходимость более полного описанпя отдельных особенностей поведения функций (т) или S (со). Для этих целей оказывается удобным применение нормированных спектральных моментов. [c.16] Являясь формально равноценными, разложения (12) основаны на использовании различной информации о процессе ( ), и поэтому при решении практических задач одно из представлений 7 (т) может оказаться предпочтительнее другого. Разумеется, запись (12) справедлива лишь при существовании ( ), т. е. при Язп 1 С оо. [c.17] По аналогии с моментными функциями вида (1.1.5) и (1.1,7) нормированные спектральные моменты (8) и (18) являются простыми числовыми характеристиками спектральной плотности 8 (со). В то же время, как и следовало ожидать из формул Винера— Хинчина (3), на основе выражений (И) и (19) спектральные моменты однозначно связаны с производными корреляционной функции Щ (т) в точке т = 0. Если при этол учесть, что поведение 7 (т) при т — О существенно влияет на поведение отдельных траекторий I (0 Ь Т случайного процесса ( ), Т , то становится понятным, почему именно спектральные моменты удобно использовать при описании особенностей функций (со) и (т) в задачах исследования характеристик выбросов. [c.19] Исследования особенностей поведения выборочных функций (траекторий) случайных процессов ( ) связаны с некоторыми общими свойствами рассматриваемых процессов. Как и при анализе любых функций, наиболее важными оказываются здесь свойства непрерывности и дифференцируемости. Строгое математическое рассмотрение подобных свойств — задача далеко не простая достаточно, например, заметить, что свойства подобного типа не определяются однозначно конечномерными распределениями. Для изучения условий непрерывности и дифференцируемости выборочных функций обычно требуется введение ряда ограничений на способ задания случайного процесса и, кроме того, предполагается наложение некоторых дополнительных условий регулярности [34, 62, 99]. [c.19] Вместе с тем в подавляющем большинстве практических задач необходимость условий непрерывности и дифференцируемости не влечет за собой жестких ограничений, поэтому приведем здесь кратко лишь те результаты, которые будут непосредственно использоваться при дальнейшем изложении. [c.19] Условие (4) эквивалентно требованию конечности дисперсии (0) = производной I ( ) рассматриваемого процесса ( ) и связано с поведением функции (т) в окрестности точки т = 0. [c.20] Записанные здесь функции (т) дифференцируемы 2тг раз производная (т) порядка (2тг + 1) Для них разрывна при т = 0. [c.21] И выбрать соответствующие значения целых чисел к ж т. С другой стороны, можно задаться корреляционной функцией (6) при соответствующем выборе п. [c.22] Использование такого коэффициента часто оказывается удобным при вычислении отдельных характеристик выбросов. Величина % зависит от степени затянутости хвостов функции (0), и, в частности, для изображенных на рис. 1.1 спектральных плотностей %1 2 Хд. Характер спада ветвей 5 (со), как уже отмечалось, связан с поведением функции г (т) в окрестности т = О и существенно влияет как на свойства дифференцируемости, так и на поведение отдельных траекторий случайного процесса. [c.23] Вернуться к основной статье