ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение уравнения эйконала методом разделения переменных из "Дифракция и волноводное распространение оптического излучения " Во многих практически важных случаях выбор соответствующей системы координат позволяет разложить квадрат показателя преломления на простые слагаемые [14]. В качестве предварительного примера рассмотрим случай, когда функция п разделяется в декартовых координатах, т. е. [c.104] В случае когда показатель преломления является убывающей функцией расстояния от оптической оси, такие среды называют линзоподобными. Для того чтобы исключить иефизичные сингулярности на каустике, необходимо наложить следующие дополнительные условия (см. разд. 3.3.4, в котором рассматривается распространение излучения вдоль оси лг) , п v/ чп /. [c.106] МЫ обнаружим полное согласие, которое свидетельствует о больших потенциальных возможностях метода геометрической оптики [см. выражение (8.7.19)]. [c.107] Освещенная обалсть характеризуется вещественным эйконалом, темная же область — комплексным эйконалом, приводящим к экспоненциальному затуханию электрического поля с увеличением расстояния от каустики [см. выражение (2.12.17) и пример в разд. 2.7]. В соответствии с этим луч, приходящий из светлой зоны, подходит к каустике по касательной и приводит к появлению отраженного назад действительного луча и комплексного луча, проникающего в темную зону. [c.107] В темной области единичный вектор S принимает комплексные значения. Точнее говоря, компонента вектора s(r), перпендикулярная каустике, является чисто мнимой при г, принадлежащих самой каустике. Это означает, что в соответствующем направлении нет потока энергии и прошедшему полю вообще не передается энергия падающего поля. Однако неравенство нулю поля означает, что в темной зоне аккумулируется реактивная энергия, которая связана со скачком фазы на тг/2 при пересечении каустики, как показано в разд. 2.10 для случая однородных сред (см. 2.17). [c.107] В освещенной области единичный вектор S является вещественным. Ниже при рассмотрении теории дифракции мы покажем, что поле вблизи каустики хорошо описывается функциями Эйри, асимптотика которых в освещенной области вдали от каустики имеет вид двух бегущих волн в соответствии с представлением геометрической оптики. [c.107] Полученные выше результаты справедливы для произвольного распределения показателя преломления я (г). Однако в любом случае геометрическая оптика сама по себе не позволяет вычислить коэффициенты отражения и пропускания для волны, касающейся каустики. [c.107] Эту задачу можно решить лишь при введении определенных переходных функций, обеспечивающих сшивку поля по обе стороны от каустики (разд. 3.3). [c.108] Рассмотрим теперь случай, когда переменные разделяются в цилиндрических координатах, т. е. [c.108] Если переменные для разделяются в сферических координатах и распределение симметрично относительно оси z, т. е. [c.109] С интуитивной точки зрения из выполненных выше расчетов следует, что поле можно вычислить в любой точке (по крайней мере в смысле Лунеберга — Клейна), если известно его распределение /(( , ф) в дальней зоне. Это свойство тесно связано с возможностью интегрального представления поля с учетом его значений на поверхности (см. разд. 4.2.2). [c.111] Отсюда следует, что величина 1/Р Я2 пропорциональна мощности, излучаемой в телесный угол сй2, а весь интеграл пропорционален полной мощности, излучаемой в бесконечность. [c.111] Общее решение этого уравнения определяет все возможные меридиональные траектории. [c.113] Отсюда видно, что фаза QZ не зависит от начальных условий при 2 = 2/3. [c.115] Таким образом, период не зависит от начального положения и наклона луча. [c.115] Это выражение представляет собой обобщение закона Снеллиуса для сред со сферически-симметричным профилем показателя преломления. Оно известно также как теорема Боугера, которую можно интерпретировать как закон сохранения углового момента фотонов, движущихся через среду. [c.117] Следует заметить, что конгруэнщм лучей относится к эйконалу вида S(r) = R(r) + 0(0) + Ф( Д), только если все лучи имеют одинаковые параметры сит. Если это условие не выполнено, то эйконал нельзя представить в виде суммы функщ1й отдельных переменных. [c.117] Другой важный класс траекторий существует для распределений п(г)у таких, что функщ1Я п(г)г имеет относительный максимум. В этом случае для некоторых параметров с уравнение (2.13.42) имеет два корня и Г2, а луч движется по траектории, ограниченной двумя окружностями, компланарными с лучом и имеющими радиусы и г2 (рис. 2.24). В частности, конгруэнщ1и, состоящие из замкнутых траекторий, описывают колебательные моды (типы колебаний) среды. [c.118] Вообще говоря, угол рассеяния В 1) — это сложная функ1дия прицельного параметра /. Если функция п г) непрерывна вместе со своими производными, то — О при / - 0и/- оо. В других случаях, например когда п сингулярна в начале координат, ж при / — 0. Это означает, что лучи с малым прицельным параметром отражаются в обратном направлении. [c.119] Данное соотношение верно, если существует однозначное соответствие между в, и /. [c.119] Вернуться к основной статье