ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод зарядовой плотности (интегральный метод) из "Электронная и ионная оптика " Интегральный метод вычисления полей введем сначала для задач об электростатическом потенциале. В дальнейшем будут показаны пути распространения этого метода на задачи о вычислении магнитных полей. [c.163] Трудность состоит в том, что в этом уравнении неизвестны как и, так а. Однако, поскольку потенциалы электродов заданы как набор значений V,- ( /=1, 2. п), мы можем сразу написать п уравнений, в которых неизвестно лишь распределение заряда. К сожалению, этот подход не приближает к решению задачи, так как электроды могут быть весьма протяженными, и поэтому мы не знаем, как выбрать те точки на их поверхностях, в которых следует положить потенциалы равными заданным. Более того, поскольку поверхностная плотность заряда меняется вдоль поверхностей электродов, пришлось бы решать систему сложных интегральных уравнений, что могло бы оказаться невыполнимым с вычислительной точки зрения. [c.165] Здесь У/ — значения потенциала на каждом граничном элементе (имеется не более п различных величин) Рг и Я/ — радиусы-векторы центров элементов (разные индексы нужны для того, чтобы отличать рассматриваемый элемент / от всех остальных элементов г) и 5 — площадь г-го элемента. Если эти площади недостаточно малы, плотность поверхностного заряда в пределах каждого элемента можно еще считать постоянной, но при этом следует провести интегрирование в пределах поверхности элемента, соответствующего радиусу-вектору, чтобы результат соответствовал середине каждого элемента. [c.165] Уравнения (3.361) образуют большую систему линейных алгебраических уравнений, однозначно определяющую распределение поверхностной плотности заряда. Обратная подстановка этого распределения в (3.360) дает потенциал в любой точке пространства. Таким образом, распределение плотности заряда осуществляет связь между потенциалами электродов и распределением потенциала во всем пространстве. [c.165] Заметим сразу, что вдоль оси (г = 0) т=0 и соответственно /С(0)=я/2. С другой стороны, в точках, где расположены заряды (г = г, z=zs), имеем т =1 и эллиптический интеграл становится бесконечно большим (сингулярность). [c.166] Для открытого металлического электрода имеются две эквипотенциальные поверхности (по одной с каждой стороны электрода). Однако если толщина электрода пренебрежимо мала, то можно просто удвоить площадь поверхности и рассматривать обе стороны электрода как одну заряженную поверхность. [c.167] Вычисления можно начинать при произвольно заданном распределении плотности заряда. Тогда разность между заданными и вычисленными потенциалами электродов может служить основой получения улучшенных значений поверхностной плотности заряда (итерация). По окончании вычислений относительная ошибка на электродах может быть менее 0,04%, за исключением кромок электродов, где ошибка обычно несколько выше [66]. [c.168] Для достижения большей точности желательно выбирать меньшие размеры элементов в тех местах, где сильнее всего изменяется плотность заряда, например вблизи зазоров между электродами. Однако, если плотность поверхностных элементов слишком велика, точность падает из-за ошибок округления. Обычно требуется несколько сотен элементов для вычисления распределения потенциала в практически важных случаях с точностью 0,1%. Аккуратность необходима также для того, чтобы обходить сингулярность эллиптического интеграла при т=1. Точность может быть повышена с помощью аппроксимации плотности заряда непрерывной функцией вместо функции, терпящей разрывы на границах элементов. [c.168] необходимое для работы программы, вычисляющей плотность заряда, приблизительно пропорционально квадрату числа элементов поверхности. Требования к объему памяти относительно умеренные по сравнению с методами конечных разностей и конечных элементов, которые требуют вычислений потенциала в каждой точке расчетной сетки. [c.168] Метод плотности заряда применялся к расчетам электростатических систем различных конфигураций [44, 66, 96, 131], включающих трехмерные поля [132], пространственный заряд [133, 134] и даже диэлектрические среды [135]. [c.168] Усовершенствования метода, направленные на уменьшение ошибок округления и обход сингулярностей, изложены в литературе [136, 137, 137а]. [c.168] С магнитными полями дело обстоит просто, если может быть использован скалярный магнитный потенциал. Тогда можно приписать электродам потенциалы в соответствии с (3.232) и решать эквивалентную электростатическую задачу, не задумываясь о физическом смысле магнитных зарядов . Как обычно, ситуация усложняется при наличии магнитных материалов, однако в этом направлении также наблюдается некоторый прогресс [110, 138]. Если отделить вклад в магнитное поле Н, обусловленный токами, от вклада индуцированной намагниченности [139], то скалярный магнитный потенциал останется применимым для последнего, и используя (1.22) и (3.227), можно написать интегральное выражение для потенциала, как функции вектора намагниченности М. Поэтому, вычислив М, можно найти скалярный потенциал, который в свою очередь определяет вклад намагниченности в вектор магнитного поля Н. Вклад токов легко может быть вычислен по закону Био — Савара (3.249). Таким образом, мы найдем суммарное поле, вычисляя в основном вектор намагниченности и скалярный потенциал. В этом методе, являющемся комбинацией методов конечных элементов и плотности заряда (интегральный метод конечных элементов), только катушка и магнитная цепь делятся на конечные элементы [124], а потенциал вычисляется только в интересующей области. Поскольку вся информация концентрируется в относительно малом объеме, для сильно неоднородных магнитных материалов матрица является очень плотной, что служит источником локализованных ошибок. Другая сложность состоит в том, что в общем случае скалярный потенциал определяется системой нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, численное решение которой весьма затруднено. [c.169] Можно также учесть намагничивание по аналогии с выражением для электростатического поля (1.1), в котором электростатическое поле Е формально заменяется вектором намагниченности М и плотность заряда заменяется фиктивной магнитной плотностью заряда . Другая возможность состоит в использовании магнитного векторного потенциала. [c.169] В заключение посоветуем читателю использовать м,етод зарядовой плотности для всех вычислений электростатических полей. В случае нелинейных магнитных задач, особенно для систем с замкнутой границей, предпочтительнее выглядит метод конечных элементов. Если границы открыты и требуется высокая точность, следует использовать интегральный метод конечных элементов. [c.169] Как мы видели в разд. 3.3.2, точность может быть повышена сохранением членов более высокого порядка в разложении в ряд Тейлора. Здесь можно пойти по тому же пути. Вычислим первую производную потенциала и(Я) по некоторой координате д, полагая, что потенциал задан в виде трехмерного числового массива, созданного в ходе работы некоторой вычислительной процедуры. [c.170] Штрихи означают дифференцирование по и производные должны вычисляться в точке с координатой д. [c.170] Очевидно, что, если используются только линейные по б члены, формула (3.376) немедленно переходит в (3.286). Как и в разд. 3.3.2, пренебрежение членами высшего порядка эквивалентно замене дифференцирования линейной конечно-разност-ной операцией. [c.171] Дальнейшее повышение точности может быть достигнуто сохранением еще большего числа членов в разложении в ряд Тейлора, однако это приведет к накоплению ошибок округления. Поэтому не имеет смысла использовать формулы сложнее, чем (3.385). [c.171] Менее точные выражения (3.281) —(3.283) прямо получаются из (3.386), если пренебречь членами четвертого порядка (мы уже видели это на примере формулы (3.303)). [c.172] Чтобы использовать вышеприведенные формулы для производных, необходимо знать значения потенциала в точках с координатами д, д б, д 2б и д Ъб. Проблемы не возникает, если координата д соответствует узловой точке расчетной сетки или точке, где действительно вычислялся потенциал, и б равно размеру ячейки или шагу независимой переменной. Однако ситуация полностью меняется, если это не так. Тогда приходится интерполировать, чтобы найти нужные значения потенциала по его значениям в узлах. Процедура интерполяции должна как минимум иметь такую же точность, как и процедура вычисления самого потенциала. [c.172] Вернуться к основной статье