ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод конечных разностей из "Электронная и ионная оптика " Определение потенциала методом конечных разностей основывается на дискретизации уравнения Лапласа. В результате непрерывное дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, которую легко решить. [c.145] Складывая два уравнения, мы сразу получаем выражение (3.281) для второй частной производной по х, но без оператора lim . Это означает, что пренебрежение высшими степенями разложения в ряд Тейлора в точности эквивалентно замене дифференцирования линейной операцией вычисления конечных разностей. Естественно, что погрешность такой замены в точности равна погрешности, обусловленной отбрасыванием членов высшего порядка. [c.146] Такие же рассуждения справедливы для полей с осевой симметрией. В этом случае выражение (3.287) может быть использовано для точек, лежащих вне оси z, а (3.289)—для осе вых точек с той же точностью. Естественно, метод будет работать также и для любого другого типа симметрии. [c.146] Чтобы начать вычисления, следует прежде всего покрыть всю область дискретной решеткой (расчетной сеткой). Способ дискретизации не определен однозначно, поскольку можно свободно выбирать решетку по своему вкусу, и, кроме того, конечная ширина ячейки может быть переменной. Очевидно, что от нашего выбора зависит точность вычислений. Теперь напишем линейное уравнение для потенциала в каждом узле в данной области. Уравнения вблизи ее границ будут содержать значения потенциала, определенные из граничных условий. Наконец, нужно решить систему N линейных алгебраических уравнений и получить распределение потенциала в N точках, расположенных внутри области. [c.147] Поскольку уравнение (3.324) содержит сингулярность в точке г=0, оно не может быть использовано для вычисления потенциала вдоль оси 2. В этой области, однако, мы можем использовать разложение в степенной ряд (3.20), что значительно упрощает вычисления. Заметим также, что в силу осевой симметрии достаточно учитывать лишь северные соседние узлы (см. нижнюю часть рис. 39). [c.151] Это конечно-разностная формула, справедливая для точек, лежащих на оси. Естественно, она не зависит от радиального распределения и [г). [c.151] Для вычисления распределения потенциала можно использовать и другие девятиточечные формулы [114]. Например, можно использовать точки ЕЕ, 1 1 , NN и 55 вместо точек NE, NW, 8Е и 5 (см. рис. 39). Вычислительная сетка может быть даже сформирована из треугольников или любых других правильных или неправильных геометрических фигур. [c.151] Вернуться к основной статье