ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кусочногоднородная среда. Подкрепленные и усиленные пластинки из "Механика в ссср за 50 лет Том3 Механика деформируемого твердого тела " Методом же степенных рядов была исследована в эффективном виде задача о софокусном эллиптическом кольце (А. И. Каландия, 1953). Алгоритм эффективного решения этой задачи был еш е раньше указан М. П. Шереметьевым, использовавшим метод функциональных уравнений в соединении с конформными отображениями (см. п. 5.3.3). [c.57] в частном случае. [c.57] можно получить отверстия в форме круга, эллипса, овала, криволинейного треугольника и четырехугольника и т. п. При отобран ении (6.1) метод немедленно приводит к решению в замкнутом виде, а это предоставляет возможность приближенного решения задач указанного вида. [c.57] Этим путем Г. Н. Савин и его ученики рассмотрели большое число конкретных задач о концентрации напряжений при различных формах и конфигурациях отверстий в однородном поле. Решения этих задач доведены до численных результатов, представленных в виде таблиц и диаграмм. Кроме того, в случаях, особо важных для приложений, построены графики распределения контурных напряжений. Сходным образом решаются Савиным задачи об изгибе тонкой пластинки с отверстием, подверженной действию моментов и нормальных усилий на бесконечности. Подробное изложение относящихся сюда результатов дано в книге Г. Н. Савина (1951), сыгравшей важную роль в последующей разработке этого круга вопросов. [c.57] К подбору приближенного отображения он изучал в основном кручение брусьев, ослабленных продольными выточками. [c.58] Подход Н. С. Курдина к этим задачам представляется наиболее удачным. Ему удалось, применяя метод Мусхелишвили, детально разобрать некоторые интересные случаи указанного вида (1962). [c.58] Возможность применения методов теории функций к задачам об изгибе пластинок впервые была иллюстрирована в работе А. И. Лурье (1928), где рассматривалась пластинка с опертыми краями, область срединной поверхности которой конформно отобран ается на круг посредством рациональной функции. Более подробное изучение этого вопроса было позже проведено А. И. Каландия (1953). В другой работе А. И. Лурье (1940) даются тем же методом замкнутые решения трех основных задач теории изгиба для случая круга. Здесь, как и в предыдущей работе того же автора, использовался метод Мусхелишвили (п. 5.3. ). [c.58] Цитированная выше работа С. Г. Лехницкого (1938) содержит систематическое применение методов комплексного переменного к задачам об изгибе пластинок. В ней выводятся общие комплексные представления основных величин для изотропного и анизотропного случаев, в окончательном виде формулируются основные задачи в терминах комплексного переменного и дается их решение в некоторых частных случаях. [c.58] Указанные работы А. И. Лурье и С. Г. Лехницкого явились началом интенсивных исследований в теории изгиба пластинок. [c.58] Методом п. 5.3.3 М. М. Фридман (1945) нашел решение некоторых конкретных задач об изгибе пластинки с криволинейным отверстием, изгибаемой моментами и усилиями, приложенными по ее краю. [c.58] Особое внимание уделялось задаче равновесия пластинки с опертыми краями. Изучению ее посвящены работы 3. И. Халилова (1950), М. М. Фридмана (1952), Д. И. Шермана (1959), А. И. Каландия (1953). [c.58] Применение метода линейного сопряжения функций к плоским задачам впервые было указано в работе Н. И. Мусхелишвили (1941), где рассматривался случай упругой полуплоскости. Решения основных задач в этом случае были найдены в простой и весьма изящной форме. Дальнейшее существенное обобщение метода было предложено И. Н. Карцивадзе (1943), распространившим его на случай круговой области, а также на более общий случай отображения на круг посредством рациональной функции. [c.58] Тому же автору принадлежат первые результаты применения метода к решению конкретных задач для указанных областей. Результаты Карцивадзе подробно изложены в книге Н. И. Мусхелишвили (1966). Смешанная задача для плоскости с круговым отверстием рассматривалась Б. Л. Минцбергом (1948). [c.59] Этим же методом Н. И. Мусхелишвили указал решение в замкнутой форме третьей основной задачи плоской теории упругости (см. стр. 53—55). [c.59] Задачу сопряжения с жестким профилем другими методами изучал Г. Н. Положий. Граничные условия задачи были предварительно подвергнуты некоторым преобразованиям, упрош,аюш,им форму этих условий на прямолинейных участках границы. Это и дало возможность автору указать решение задачи в явном виде вначале для выпуклых многоугольников (1949, 1950), а затем, после проведения довольно тонких исследований о поведении напряжений в угловых точках при условии непрерывности вектора смещений, для многоугольников самого общего вида, а также для бесконечной плоскости с произвольным многоугольным отверстием (1957). [c.59] К отдельным случаям многосвязной среды применялся обобщенный алгоритм Шварца, развитый в общей форме С. Г. Михлиным (1949) применительно к основной бигармонической задаче. Первая иллюстрация метода была дана тем же автором (1934) на примере весомой полуплоскости с эллиптическим отверстием, когда напряжения на бесконечности распределены по гидростатическому закону. [c.60] Сходимость последовательных приближений по Шварцу исследовалась при некоторых ограничениях относительно области в работах С. Г. Михлина и А. Я. Горгидзе. Сходимость метода в общем случае была установлена С. Л. Соболевым (1936). [c.60] Алгоритм Шварца не обладает быстрой сходимостью, что следует помнить при практическом использовании метода. Тем не менее в ряде случаев он может дать неплохие результаты. Примерами могут служить работы А. С. Космодамианского (1961, 1964), относящиеся к случаю двух неодинаковых отверстий в бесконечной среде. [c.60] При изучении напряжений в пластинке со многими отверстиями одним из основных вопросов является определение степени ослабления среды около данного отверстия, вызванного наличием соседних отверстий. Этим вопросом, представляющим большой интерес для практики горного дела, были посвящены работы Д. И. Шермана и его последователей, о которых говорилось выше. Укажем на некоторые обобщения в этом направлении. [c.60] Космодамианский (1961, 1962) применял метод Бубнова — Галеркина. Для искомых комплексных потенциалов ф и ф он пользовался представлениями в виде бесконечных сумм функций специальногр вида с неопределенными коэффициентами и получал для приближенного решения систему конечного числа алгебраических уравнений. Метод приводит к особенно хорошим результатам в случае круговых отверстий. [c.60] Вернуться к основной статье