ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Смешанные пространственные задачи статики упругого тела из "Механика в ссср за 50 лет Том3 Механика деформируемого твердого тела " Под смешанными краевыми задачами математической теории упругости обычно понимают такие задачи упругого равновесия, когда на поверхности тела расположены линии раздела граничных условий различных типов. Если поверхность рассматриваемого упругого тела состоит из нескольких гладких граней, то могут представиться два основных качественно различных варианта смешанных задач. [c.33] Проблема Г. Герца о сжатии упругих тел в таких условиях, когда площадка контакта оказывается эллипсом. В дальнейшее развитие этого круга вопросов весьма существенный вклад внесли советские ученые. [c.34] Динник (1909) и Н. М. Беляев (1924) провели вычисление напряжений в телах, соприкасающихся по круговой или эллиптической площадке (см. также М. С. Кролевец, 1966). Значительное количество важных работ по контактным задачам было выполнено в тридцатых и сороковых годах. В. А. Абрамов (1939 и А. И. Лурье (1940) дали решение контактных задач о нецентрально нагруженном круглом и эллиптическом штампе. Существенные результаты в этом направлении получены И. Я. Штаерманом (1939, 1941, 1943), рассмотревшим различные случаи контакта тел вращения без предположения о малости поверхности их соприкосновения, а также впервые исследовавшим задачу о плотном прилегании штампа. В 1941 г. А. И. Лурье с помощью функций Ламе детально рассмотрел некоторые контактные задачи, причем разработал естественный и единообразный подход к задаче Герца и задаче о плотном прилегании. В работах М. Я. Леонова (1939, 1940) и Л. А. Галина (1946, 1947) дано дальнейшее обобщение ряда контактных задач для полупространства. Большой материал оригинального и обзорного характера, относящийся к рассматриваемым проблемам, содержится в монографиях И. Я. Штаермана (1949), Л. А. Галина (1953), А. И. Лурье (1955), а также в обзорных статьях Д. И. Шермана (1950) и Г. С. Шапиро (1950), в которых имеются ссылки на многие работы, не вошедшие в настоящий обзор. [c.34] В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6 граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5 , причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34] Александрова (1955), Ю. О. Аркадьевой (1962), В. С. Губенко и В. И. Моссаковского (1960), К. И. Егорова (1963), Г. Я. Попова (1967). За последние годы наметился еще один подход к этой и сходным с нею задачам, основанный на использовании парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Мелера — Фока (В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко, 1963 А. А. Баблоян, 1964 А. Н. Руховец и Я. С. Уфлянд, 1965—1967), а также на применении тройных интегральных уравнений ) (Н. М. Бородачев и Ф. Н. Бородачева, 1966). Указанные методы позволяют получить эффективные приближения, основанные на численном решении интегральных уравнений Фредгольма. [c.35] В большинстве рассмотренных работ, связанных с контактными задачами, предполагалось, что трение между штампом и упругим телом отсутствует. Значительно большие математические трудности представляет другой предельный случай, когда штамп и основание находятся в условиях сцепления (такая задача есть частный случай основной смешанной задачи теории упругости). В отличие от более простых смешанных задач, в этом случае дело сводится к отысканию двух гармонических в полупространстве функций с неразделенными краевыми условиями первого и второго рода. Впервые такая задача для кругового штампа была решена В. И. Моссаковским (1954) путем сведения ее к плоской задаче линейного сопряжения двух аналитических функций. Впоследствии Я. С. Уфлянд (1954, 1967) дал непосредственное решение этой задачи с помощью тороидальных координат и интегрального преобразования Мелера — Фока. В статье Б. Л. Абрамяна, Н. X. Арутюняна и А. А. Баблояна (1966) осуществлен еще один подход к той же задаче, основанный на использовании парных интегральных уравнений. Контактным задачам при наличии сцепления посвящена также работа В. И. Моссаковского (1963). Решение основной смешанной задачи теории упругости для полупространства с прямолинейной границей раздела краевых условий дано Я. С. Уфляндом (1957) с помощью интегрального преобразования Конторовича — Лебедева. [c.36] Исследованию поведения напряжений вблизи краевой линии штампа, находящегося в условиях сцепления, посвящена статья Г. Н. Савина и В. Л. Рвачева (1963). [c.36] Александрова (1963, 1964, 1967) и других учеников И. И. Воровича (см., например, диссертацию В. А. Бабешко, 1966) и в настоящее время может считаться одним из наиболее эффективных для решения рассматриваемого класса контактных задач при произвольной величине отношения толщины слоя к характерному размеру штампа. [c.37] Из работ, посвященных более сложным контактным проблемам, отметим статью В. С. Губенко (1960), в которой исследуется вопрос о воздействии кольцевых штампов на упругий слой, а также работу И. И. Воровича и В. В. Копасенко (1966) о контактной задаче для полуполосы. [c.37] С ПОМОЩЬЮ парных интегральных уравнений могут быть успешно решены задачи о концентрации напряжений в упругом слое, ослабленном соосными круглыми щелями, параллельными границам слоя. Простейшей задачей такого тина (Я. С. Уфлянд, 1959) является равновесие упругого слоя, содержащего в средней плоскости одну симметрично загруженную круговую щель. И. А. Маркузон (1963) исследовал этот же вопрос в связи с задачей о нахождении размеров равновесной трещины по способу Г. И. Баренблатта. [c.38] Из других работ, относящихся к равновесию тел со щелями и отверстиями, укажем на статьи В. В. Панасюка (1960), Н. Н. Лебедева и Я. С. Уфлянда (1960), Ю. Н. Кузьмина и Я. С. Уфлянда (1965), Ю. Н. Кузьмина (1966) и Н. В. Пальцуна (1967), а также на обзорную работу Г. Н. Савина, А. С. Космодамианского и А. Н. Гузя (1967). [c.38] Отметим также интересную статью Н. М, Бородачева (1967), в которой парные ряды по функциям Бесселя использованы в осесимметричной задаче о вдавливании кругового штампа в торец полубесконечного цилиндра. [c.39] В дальнейшем этими проблемами занимались В. И. Моссаковский (1958), Г. Я. Попов (1959), А. Ф. Раков и В. Л. Рвачев (1961), Н. А. Ростовцев (1961, 1964) и ряд других авторов. Более подробные сведения по этим вопросам содержатся в обзорном докладе А. Г. Ишковой и Б. Г. Коренева (1966). [c.40] Вернуться к основной статье