ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория устойчивости движения Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения (В. В. РумянПервый метод Ляпунова (Н. Я. Еругин) из "Механика в ссср за 50 лет Том1 Общая и прикладная механика " Следует отметить, что первоначальная идея Н. Г. Четаева о введении двух функций получила развитие в работе П. А. Кузьмина (1954), установившего теоремы об условной устойчивости с двумя функциями, а также об устойчивости и асимптотической устойчивости для линейных систем с непрерывными и ограниченными коэффициентами, о поведении возмущенных движений которых во всей окрестности точки х = О можно судить по их свойствам в некоторой области этой окрестности. Так, П. А. Кузьмин установил следующую теорему. [c.25] Если уравнения возмущенного движения таковы, что для некоторой определенно-положительной функции У существует область У О, в которой можно выделить и-мерную область ТУ 0, ке пустую при численно сколь угодно малых х и при всех 0 и такую,. что на ее границе = О всюду 1У 0, то не возмущенное движение устойчиво. [c.25] установлена следующая теорема (В. В. Румянцев, 1955, 1960). [c.26] Отметим, что переменные у представляют собой некоторые непрерывные ограниченные функции переменных Хд, уничтожающиеся, когда = 0. [c.26] Следующий признак устойчивости относительно части переменных с несколькими функциями доказан В. М. Матросовым (1965). [c.26] Ряд других модификаций теорем Ляпунова предложили также К. П. Персидский (1931), X. И. Ибрашев (1947), И. Г. Малкин (1954), Н. Н. Красовский (1956), В. И. Зубов (1959), Г. И. Мельников (1956) и многие другие. [c.27] Теоремы III и IV Ляпунова и теоремы 1—2 Четаева о неустойчивости также обобщались и модифицировались многими авторами. К. П. Персидский (1946—1947) ввел понятия сектора и полусектора и предложил следующую теорему о неустойчивости. [c.27] Интересные критерии неустойчивости предложил Н. П. Еругин (1952). Им сформулирована следующая общая теорема о неустойчивости. [c.27] Тогда невозмущенное движение а = О неустойчиво. [c.27] Рассмотрены также возможные частные случаи развиты применения к вопросам продолжимости решений, качественной теории дифференциальных уравнений, к вопросу существования ограниченных решений системы (1.1). [c.27] В приведенной форме эта теорема не может быть распространена на общий случай неустановившихся движений. Однако возможно получить следующую модификацию теоремы (В. М Матросов, 1962, 1965). [c.27] Тогда невозмущенное движение неустойчиво. [c.28] Отсюда можно получить следствия, модифицирующие теоремы 1—2 Четаева и теорему Красовского о неустойчивости. Вопрос о неустойчивости рассматривался также С. К. Персидским (1961). Для модификации и обобщения теорем о неустойчивости оказалось возможным, как и в вопросах устойчивости, использование дифференциальных неравенств (В. М. Матросов, 1965). [c.28] Расширение области приложения теории устойчивости потребовало изучения систем, описываемых математическим аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве — таких, как конечноразностные системы, счетные системы уравнений, уравнения с запаздываниями уравнения в частных производных и т. п. В некоторых случаях такие системы удается свести к исследованию обыкновенных уравнений в специально подобранном абстрактном функциональном пространстве. [c.28] Изучение задач устойчивости в абстрактных пространствах было начато К. П. Персидским (1936—1937, 1948, 1950) и М. Г. Крейном (1948) и в настоящее время продвинуто далеко вперед, включая доказательство теорем существования функций Ляпунова (см., например, работы В. И. Зубова, 1954, 1955, 1957 Н. Н. Красовского, 1956), что связано с успехами общей теории дифференциальных уравнений на базе функционального анализа. Для систем, описываемых функциональными уравнениями, важное значение имеет правильный учет начальных возмущений, возможных в реальных условиях, в связи с чем для постановки задачи устойчивости немаловажное значение имеет качественное исследование характера движений. [c.28] Теоремы метода функций Ляпунова можно перенести непосредственно без всяких изменений па уравнения (6.9). Такое перенесение этих теорем на уравнения с запаздываниями времени t было выполнено Л. Э. Эльсголь-цем (1954), указавшим, однако, что формальное перенесение теорем Ляпунова на системы с запаздываниями имеет ограниченное значение, так как в большинстве случаев теоремы Ляпунова оказываются здесь необратимыми. [c.29] однако, в качестве элемента траектории принять не вектор xi xq ( O о) oj ) i вектор-отрезок этой траектории xi xq ( O q), 0, i + 6 ) при—/г 0, который будем обозначать символом ( 0 ), 0 ) и заменить функцию Ляпунова V х ( O ), t), определенную на векторе х, функционалом V (х ( б ), t), определенным на вектор функции X ( б ), то, как показал Н. Н. Красовский (1959), основные определения и теоремы второго метода Ляпунова весьма естественно переносятся на функционалы F, причем теоремы оказываются обратимыми. Так, например, теорема, соответствующая теореме II Ляпунова, формулируется следующим образом. [c.29] Красовским (1956, 1959) доказана также теорема, обосновывающая применение функций Ляпунова для уравнений с последействием. [c.29] Аналогичная теорема принадлежит также Б. С. Разумихину (1956) установившему, кроме того, теорему об устойчивости с функцией V х, t) для уравнений с запаздыванием. [c.30] Вернуться к основной статье