ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кинематический метод определения предельной нагрузки (кинематическая теорема) из "Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести " Таким образом, нагрузка, соответствующая кинематически возможному состоянию, всегда больше предельной нагрузки. В этом заключается суть кинематической теоремы, которая устанавливает приближение предельной нагрузки сверху. Исследуя различные кинематически возможные состояния, определяем семейство нагрузок. Наименьшая нагрузка и будет ближе всего к предельной. Такой метод определения предельной нагрузки называется кинематическим. [c.152] Для плоского деформированного состояния наиболее простым является решение жестко-пластических задач. Их решение имеет практическое значение при исследовании таких технологических операций, как прокатка, волочение, прессование, а также для определения предельных нагрузок. [c.153] Затем с помощью формул (6,11) определяем компоненты напряжений Ох, Oyt Тху Следовательно, задача об определении напряжений при пластическом плоском деформированном состоянии сводится к интегрированию системы двух нелинейных дифференциальных уравнений (6.12) в частных производных при соответствующих граничных условиях. [c.158] Таким образом, зная величины и ф на поверхности тела, по формулам (6.17) можно найти и л, а затем по формулам (6.11) определить напряжения. [c.161] К основным свойствам линий скольжения, изученным Генки [22—25], относятся следующие. [c.161] Равенетва (6.31) являются деказательствами указанного свойства, которое можно сформулировать еще так при переходе от линии скольжения семейства Ь к линии скольжения семейства а угол ф и давление изменяются пропорционально. [c.162] Нормальные напряжения в радиальных и окружных площадках равны величине Oq, которая пропорциональна углу наклона прямых. Центр О является особой точкой. Если в некоторой области линии скольжения обоих семейств прямолинейны, то напряжения в этой области распределены равномерно (рис. 57, в) [102]. Такое поле напряжений называют равномерным. Для равномерного поля параметры и т] постоянны (т. е. = onst ц = = т]о = onst). [c.163] Уравнения (6.33) называются уравнениями для скоростей перемещений вдоль линий скольжения. Первое уравнение справедливо при перемещении вдоль линии вкольжения а, а второ — вдоль линии скольжения 6. Из уравнений (6.33) следует, что изменение полной скорости вдоль линий скольжения равно нулю. [c.164] Причем по обе стороны линии разрыва имеет различные знаки. [c.165] При решении конкретных задач пластического плоского деформированного состояния необходимо, чтобы полученные решения гиперболических уравнений (6.12) удовлотворяли граничным условиям. В связи с этим приходится решать ряд краевых за-дач или задач, сводящихся к краевым. Обычно решают такие краевые задачи 1) начальную характеристическую задачу(за-дача Римана) 2) задачу начальных значений (задача Коши) 3) смешанную задачу. [c.167] Решение приведенных краевых задач достигается различными способами. В случае, когда уравнения (6.12) линеаризованы, решения задач Коши и Римана можно представить в замкнутом виде посредством функции Римана [224]. Однако использование указанных решений связано с большим объемом вычислений. Решение краевых задач можно представить в аналитической форме с помощью аппарата так называемых метацилиндрических функций, рассмотренных Л. С. Агамирзяном [I]. Однако более простыми методами решения краевых задач являются приближенные методы построения полей скольжения, основанные на переходе к конечно-разностным соотношениям и использовании некоторых свойств линий скольжения [77, 155, 200, 212, 224]. Рассмотрим некоторые методы численного решения приведенных основных уравнений. [c.168] Такой метод позволяет последовательно, начиная с точки 1,1, определять координаты точек и значения в данных точках и ф, а значит, найти решение задачи Римана во всей области криволинейного четырехугольника АОСВ. [c.168] Значения а и ф в точках 2,1 3,1. .. вычисляем аналогично, как в задаче Римана. Нахождение положения точки 2,2 и величины Од в ней производится аналогичным образом как для точки 1,1. Такой метод позволяет последовательно, начиная с точки 1,1, определять значения Од и ф, а значит, строить решение во всей области криволинейного треугольника О А В. [c.169] Дифференциальные уравнения равновесия (7.15) и условие пластичности Мизеса — Генки (7.18) содержат три компоненты напряжений Ох Оу Хху. Следовательн , данная система уравнений пластического равновесия в компонентах напряжения может решаться независимо от уравнений (7.17) или (7.17а), содержащих компоненты перемещения или компоненты скоростей перемещения. Таким образом, задача о нахождении напряжений в условиях плоского напряженного состояния при заданных на поверхности напряжениях является статически определимой. [c.174] Таким образом, напряжень е состояние в данном случав вписывается системой двух дифференциальных уравнений относительн двух неизвестных функций (о ( , /) и а (j , у). [c.175] Если 20д. — О, то условие = О означает, что вдоль характеристической линии скорость относительного удлинения равна нулю. Такое же условие выполняется вдоль характеристик второго семейства. Данные условия могут быть представлены дифферен циальными уравнениями, аналогичнымп уравнениям, которые выведены Р. Хиллом [224] и позволяют вычислять скорости вдоль характеристических линий. [c.176] Тогда поле скоростей деформаций определяется из следующих соотношений [157]. [c.177] Здесь д — произвольное число, О д 1. [c.177] Вернуться к основной статье