ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение нелинейных уравнений методом усреднения. Автоколебания. Вынужденная синхронизация. Система с медленно изменяющимися параметраАдиабатические инварианты. Параметрический резонанс в нелинейной системе. Многомерные системы ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА из "Лекции по теоретической механике " По существу, все механические системы описываются нелинейными уравнениями. Для исследования поведения систем в окрестности положения равновесия применяют метод линеаризанди уравнений движения поведение системы приближенно описывается линейными уравнениями. Если положение равновесия устойчиво, то движение системы называют линейными колебаниями. Этот вид движения широко распространен в природе и технике. [c.136] Произведем линеаризацию этого уравнения. Найдем вначале возможные положения равновесия д2щ,. .. из условия равенства нулю обобщенной силы —ди/дд = 0. [c.136] Периодическая функция f t) с периодом Т = 2tx ujq должна удовлетворять тождеству /( ) = f t + Т) в интервале — оо сю. Очевидно, последнее условие является очень сильным, поскольку для реальных систем оно никогда не выполняется. Поэтому колебаниями называют движения системы, удовлетворяющие условию x t) x t + Т) для всех t в интервале ( о, to + tk),tk T, где 0 — момент времени, в который заданы начальные координата ж ( о) = жо и скорость системы (0) = vq. [c.137] Замечание. Термин малые колебания некорректно отражает эволюцию системы, которая описывается функцией x t). Значения координаты и скорости в окрестности устойчивого положения равновесия будут малыми , если достаточно малы их начальные значения. Более точно, если полная энергия Е меньше значения потенциальной энергии в ближайшем к координате q = с локальном максимуме функции U q) нри q = q-m-Однако, оставаясь малой в области Ад = qm - с , координата х удовлетворяет нелинейному уравнению, описывающему нелинейные колебания. Поэтому термин линейные колебания наиболее точно соответствует движению системы у дна потенциальной ямы, где функция x[t) удовлетворяет линейному уравнению (17.4). Важно отметить, что эволюция исходной системы описывается нелинейными уравнениями. [c.137] Отметим, что решение этой задачи в рамках квантовой механики приводит к дискретным значениям полной энергии Еп = Ь(п + 1/2) (п = = 0,1,2. . [c.138] Отметим, что потенциальная энергия взаимодействия U(q) — симметричная функция и(д) = U —q). Однако решение этого уравнения не обладает симметрией взаимодействия. [c.139] Диаграмма положений равновесия qeq h), изображенная на рис. 17.1 в, имеет форму вилки. Поэтому явление потери устойчивости в точке g = О и возникновение двух устойчивых положений равновесия при переходе параметра h через критическое значение h = Iq называют бифуркацией (от англ. bifur ation — раздвоение). Обычно термин бифуркация употребляется в широком смысле для обозначения качественных перестроек системы при изменении управляющих параметров. [c.139] Величину т = 1/7, равную интервалу времени, за которое энергия уменьщается в е раз, называют временем жизни осциллятора. [c.140] Положение равновесия (х = О, р = 0) называют неподвижной или особой точкой уравнений (17.10). [c.140] Проведем элементарное исследование траекторий р = р х) и определим характер особой точки (О, 0) в соответствии с терминологией, предложенной одним из гигантов математиче ской мысли — Анри Пуанкаре (1854-1912 гг.). [c.140] Положим теперь в (17.10а) = 0. Ось х состоит из особых точек. Фазовые кривые р = — ух + С изображены на рис. 17.2 д. Полагая 7 = 0, ыо = О, имеем р = С (рис. 17.2 е). [c.142] Очевидно, при к it 1 решения экспоненциально растут. Мы приходим к выводу, что линейные уравнения (17.14) непригодны для описания движения в интервале t к . [c.144] Тогда 8р V 0. Если потенциальная энергия в (17.13) представляет собой положительно определенную форму, то 2в корней уравнения (17.16) будут чисто мнимыми и попарно сопряженными, а решение системы (17.14) ограничено. [c.145] Движение системы является суперпозицией независимых гармонических движений, происходяшдх одновременно. Эти гармонические движения называются нормальными колебаниями или нормальными модами (либо просто модами). Определенная мода характеризуется собственной частотой и пространственной конфигурацией системы, задаваемой вектором ит ц) Для возбуждения фиксированной моды необходимо выбрать специальные начальные условия. [c.145] Новые переменные называют нормальными координатами или коллективными переменными. Они описывают движение системы как движение совокупности новых невзаимодействующих осцилляторов , представляющих собой определенные пространственные структуры. Эта интерпретация нормальных мод приобретает глубокий смысл при квантовомеханическом подходе к исследованию многочастичных систем. [c.149] Это уравнение может быть решено несколькими различными методами. Наибольший интерес представляет построение решения в терминах функций Грина, которые широко используются в последующих разделах курса теоретической физики — в квантовой механике, электродинамике, статистической физике и т. д. [c.150] Результирующее движение представляет собой суперпозицию колебаний двух типов свободных и вынужденных колебаний. При вычислении скорости X следует учесть, что 9 Ь—1 ) = = в 1-Ь )В Ь—1 ). [c.152] Верхний предел интегрирования в (18.9), по существу, равен I. Это означает, что отклик системы в момент времени I зависит от значения силы Р 1 ), действующей в предущие моменты. Полученный результат согласуется с условием причинности следствие не может предшествовать причине. [c.152] Рассмотрим два частных случая. [c.154] Вернуться к основной статье