ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенные импульс и энергия. Принцип Гамильтона. Движение в неинерциальной системе отсчета Движение частицы по поверхности из "Лекции по теоретической механике " Теперь для задания положения системы достаточно определить 3N — к координат. Остальные к координат можно найти из уравнений (14.1). Голо-номные связи, ограничивающие положения частиц, реализуются макроскопическими недеформируемыми конструкциями оболочками, стержнями, плоскостями и т.д. [c.108] В частном случае движения частиц по плоскости if r, t) = пг — d t), где n — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, d t) — расстояние от плоскости до начала координат. [c.108] Это уравнение является следствием принципа Д Аламбера (1743 г.), согласно которому сумма активных сил Г , сил реакции К и силы —ШаГ равна нулю. Таким образом, имеем систему ЗN + к уравнений (14.1) и (14.7), содержащую ЗN координат г а, и ЗN компонент К . Поскольку/с ЗN, то задача является неопределенной. Далее мы получим решение уравнений (14.1), (14.7) в предположении, что связи являются идеальными. Для того, чтобы ввести идеальные связи, познакомимся вначале с понятием виртуальные перемещения. [c.109] Набор векторов ri, Г2, .., Srjv называют виртуальными перемещениями. Из (14.8) следует, что 3N — к виртуальных перемещений могут быть выбраны произвольно, а к остальных будут функциями ЗЛ — к независимых перемещений. [c.110] Если связи стационарны, то dfa/dt = 0. В этом случае действительные перемеш,ения принадлежат множеству виртуальных. [c.110] Рассмотрим, например, движение частицы по плоскости пг — d t) — 0. Согласно (14.8) имеем п5г = 0. Следовательно, виртуальные перемещения связаны, по существу, с возможными положениями частицы, допускаемыми связями в момент времени t. [c.110] Постоянные интегрирования удовлетворяют условиям Схп = О, Сгп = 0. [c.111] Интегрирование этой системы удобно начинать с определения множителей Лд. С этой целью, подставляя (14.13)в (14.6), найдем Л как функции координат, скоростей и времени. Подставляя затем Ло,(г, г, I) в (14.13), получим систему ЗЫ уравнений относительно ЗТУ неизвестных функций. [c.112] Правая часть (14.15) содержит мощность сил реакции. Заметим, что уравнения (14.13), (14.15) являются следствием условия идеальности связей (14.10). Мы приходим к выводу, что при условии дИ/дЬ = О полная энергия сохраняется только в случае стационарных связей. [c.113] Пример 14.4. Две частицы масс гп и Ш2 закреплены на концах стержня длины I массы т С т, т . Эта система движется в однородном поле тяжести. Найдем решение уравнений движения и силы реакций. [c.113] Отметим, что переход от реального упругого стержня к модели твердого тела может быть обоснован в рамках квантовой механики. Величина силы реакции имеет конечное значение при жесткости стержня А — оо и удлинении А/ —) О, если величина работы внешних сил меньше разности энергий возбужденного и основного состояний. В этом случае говорят о замороженных степенях свободы. [c.113] При а -С 1 область движения (/ а определяется неравенством OS ср -E/m Qp = 1 — а /2. Полагая в (5) sin (/ /2) ср/2, находим (р = а sin iuot. Величина а играет роль амплитуды линейных колебаний. [c.115] Здесь к — постоянная, называемая модулем эллиптических функций О А 1 (см. приложение). На рис. 14.2 изображен график функции sn ( , к) при некоторых значениях модуля к. [c.115] Максимальное значение угла v определяется условием sin (v m/2) = а/2. [c.116] Полагая а/2 = sin (а/2), находим = а. Период нелинейных колебаний Т = 4iiT/о о зависит от значения полной энергии Е К (а/2) — полный эллиптический интеграл. [c.116] На рис. 14.3 изображены графики функции ср — ср(С), С = при начальных условиях, приведенных в таблице. [c.116] Очевидно, что ср тт при оо. [c.116] выбором к множителей Ла обратим в нуль коэффициенты при к зависимых виртуальных перемещениях. После этого шага сумма представляет собой линейную комбинацию независимых виртуальных перемещений. Коэффициенты при них должны быть равны нулю. В результате получим уравнение (14.13). [c.117] В общем случае (14.18) невозможно привести к виду (14.1). Поэтому неголономные связи называют иногда неинтегрируемыми. Ограничимся далее рассмотрением связей (14.18), линейных по скоростям. [c.118] Вернуться к основной статье