ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Собственные колебания и метод Крылова — Боголюбова из "Курс теоретической механики для физиков Изд3 " Резонансные свойства амплитудных характеристик лежат в основе устройства усилителей и фильтров . [c.303] При произвольном соотношении сое и (Оо энергия, усредненная по периоду колебания Ге=2я/сое, сохраняется (здесь опять-таки предполагается, что собственными колебаниями системы можно пренебречь). [c.303] Пример 6.16. Движение системы при наличии силы, действующей на конечном интервале времени. [c.306] На систему с одной степенью свободы, собственной частотой 0) и коэффициентом а, играющим роль массы , в течение промежутка времени действует постоянная сила Со. Найти отклонение системы от начального положения (предполагается, что это лоложение является положением устойчивого равновесия), если в начальный момент времени система покоилась. [c.306] Отсюда видно, что если время действия силы tl равно (или кратно) собственному периоду системы 2ох/со, то после действия силы система останется в положении устойчивого равновесия (рис. 6.15). [c.307] Пример 6.17. Вынужденные колебания под действием силы, экспоненциально спадающей со временем. [c.307] Пример 6.18. Гашение колебаний. [c.307] например, оба маятника в начальный момент времени покоятся в положении равновесия, т. е. [c.309] Рассмотрим систему с одной степенью свободы, на которую наложены голономные стационарные связи и действуют заданные стационарные силы при этом предположим, что у системы имеет-ся положение устойчивого равновесия. Разложение кинетической, потенциальной и диссипативной функций в окрестности этого положения вплоть до членов второго порядка малости включительно приводит к линейному уравнению. Однако во многих практически важных задачах возникает необходимость исследования колебаний с достаточно большими амплитудами и скоростями. В таких случаях линейное приближение оказывается недостаточным и приходится учитывать последующие члены разложений, приводящие к нелинейным уравнениям. Если при этом отклонения от положения равновесия и скорости точек не слишком велики, то соответствующие уравнения будут описывать малые нелинейные колебания. [c.311] Наконец, в силу нелинейности уравнения движения его общее решение не сводится к суммё частных решений, и, следовательно, принцип суперпозиции не имеет места. Таковы особенности нелинейных малых колебаний или, как говорят, слабо-нелинейных колебаний. [c.313] Общая схема решения исходного уравнения заключается в отыскании функций е/ь ewi, egi и т. д. по заданной функции eQ при этом амплитуда и -фаза как функции времени будут определяться по найденным функциям е/ь e oi и т. д. с помощью уравнений (7.6). [c.314] Формулы (7.11) и (7.5) дают возможность определить левую часть исходного уравнения как функцию а и 1]). [c.314] Таким образом, в первом приближении производная амплитуды по времени и частота определяются коэффициентами Фурье заданной функции eQo (а, г] ), т. е. коэффициентами Фурье правой (вооби е говоря, нелинейной) части исходного уравнения, взятой с точностью до е производная амплитуды определяется коэффициентом Фурье при sinif), а производная фазы определяется коэффициентом Фурье при созг]). [c.316] Проводя аналогичные вычисления с точностью до можно получить решение во втором приближении. [c.316] Пример 7.1. Нелинейные колебания математического маятника в среде с линейной силой сопротивления. [c.317] Пусть математический маятник совершает малые нелинейные колебания в среде, сила сопротивления которой пропорциональна первой степени скорости точки. Найти закон движения маятника. [c.317] в данном примере учет нелинейной потенциальной силы приводит к уменьшению частоты о) по сравнению с частотой о)о линейных колебаний. С течением времени благодаря сопротивлению амплитуда становится исчезающе малой, поэтому (о стремится к 0)0 (рис. 7.2). [c.318] Пример 7.2. Автоколебания математического маятника. [c.318] Подвес маятника жестко скреплен с муфтой, которая надета на вал, вращающийся с постоянной угловой скоростью 2 (рис. 7.3). Сила сухого трения F , действующая со стороны вала на маятник, известна как функция их относительной угловой скорости к — коэффициент трения маятника о воздух. Найти амплитуду установившихся колебаний маятника. [c.318] Уравнение движения маятника определяется кинетической и потенциальной энергиями, диссипативной функцией (см. пример 7.1), а также диссипативной силой. [c.318] Вернуться к основной статье